20.【线性代数】——坐标系中，平行四边形面积=矩阵的行列式
三 坐标系中，平行四边形面积=矩阵的行列式
- 定理
- 验证
定理
在坐标系中，由向量（a,b）和向量(c,d)组成平行四边形的面积= 矩阵
[
a
b
c
d
]
\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}
[acbd]的行列式，即：
平行四边形的面积
=
∣
a
b
c
d
∣
=
a
d
−
b
c
平行四边形的面积= \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} = ad-bc
平行四边形的面积=
acbd
=ad−bc
验证
h
S表示面积
S
红4
=
c
d
S
绿5
=
a
b
S
橙6
=
a
b
S
黄7
=
c
d
S_{\text{红4}} = cd \newline S_{\text{绿5}} = ab \newline S_{\text{橙6}} = ab \newline S_{\text{黄7}} = cd
S红4=cdS绿5=abS橙6=abS黄7=cd
得出
S
绿5
=
S
橙6
S
红4
=
S
黄7
S
蓝8
+
S
绿5
+
S
红4
=
a
d
S_{\text{绿5}}=S_{\text{橙6}} \newline S_{\text{红4}} = S_{\text{黄7}} \newline S_{\text{蓝8}} + S_{\text{绿5}} + S_{\text{红4}} = ad
S绿5=S橙6S红4=S黄7S蓝8+S绿5+S红4=ad
图中，
S
紫
=
S
紫1
+
S
紫2
+
S
紫3
=
b
c
S_{\text{紫}} = S_{\text{紫1}} + S_{\text{紫2}} +S_{\text{紫3}} = bc
S紫=S紫1+S紫2+S紫3=bc
现在看平行四边形的面积，如下：
S
平行四边形
=
S
蓝8
+
(
S
橙6
−
S
紫2
)
+
(
S
黄7
−
S
紫1
)
−
S
紫3
S_{\text{平行四边形}} = S_{\text{蓝8}} + (S_{\text{橙6}} - S_{\text{紫2}}) + (S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}}) - S_{\text{紫3}}
S平行四边形=S蓝8+(S橙6−S紫2)+(S黄7−S紫1)−S紫3
减去 S 紫3 S_{\text{紫3}} S紫3，是因为 S 紫3 S_{\text{紫3}} S紫3加了两次
S 平行四边形 = S 蓝8 + ( S 橙6 − S 紫2 ) + ( S 黄7 − S 紫1 ) − S 紫3 = S 蓝8 + S 橙6 + S 黄7 − S 紫1 − S 紫2 − S 紫3 = ( S 蓝8 + S 绿5 + S 红4 ) − ( S 紫1 + S 紫2 + S 紫3 ) = a d − b c \begin{aligned} S_{\text{平行四边形}} & = S_{\text{蓝8}} + (S_{\text{橙6}} - S_{\text{紫2}}) + (S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}}) - S_{\text{紫3}} \newline & = S_{\text{蓝8}} + S_{\text{橙6}} + S_{\text{黄7}} - S_{\text{紫1}} - S_{\text{紫2}}-S_{\text{紫3}} \newline & = (S_{\text{蓝8}} + S_{\text{绿5}} + S_{\text{红4}}) - (S_{\text{紫1}} +S_{\text{紫2}}+S_{\text{紫3}}) \newline & = ad-bc \end{aligned} S平行四边形=S蓝8+(S橙6−S紫2)+(S黄7−S紫1)−S紫3=S蓝8+S橙6+S黄7−S紫1−S紫2−S紫3=(S蓝8+S绿5+S红4)−(S紫1+S紫2+S紫3)=ad−bc