傅里叶变换和小波变换概述及实践

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本文我们将介绍图像傅里叶变换和小波变换之间的基础概念及实际应用。 文章目录 🌟傅里叶变换基础原理 🌟小波变换基本原理 🌟小波变换的优势 🌟傅里叶变换及小波变换的应用 💛傅里叶变换 💛小波变换

🌟傅里叶变换基础原理

傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学工具，在信号处理、物理学、工程学等众多领域都有广泛应用。它能够将一个信号从时域（或空域）转换到频域，从而揭示信号在不同频率下的成分分布。
傅里叶变换的基本原理基于傅里叶级数。傅里叶级数表明，任何周期信号都可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。而傅里叶变换则将这个概念扩展到非周期信号，它把非周期信号看作是周期为无穷大的周期信号。通过傅里叶变换，我们可以将一个复杂的信号分解为不同频率的正弦和余弦分量的叠加，每个分量都有自己的幅度和相位。

这里是从时域空间经过傅里叶变换转换为频域信号的过程。可以看到在时域空间中杂乱无章的信号经过转换可以得到大概四种频率信号。

这里的上方公式表示将时域信号在整个区间内积分转化为空间信号。
下方公式表示傅里叶反变换，将空间信号转换为时域信号。

比如对于这样的一个图像：
f(x)=3np.sin(0.8x)+7np.sin(1/3x)+2np.sin(0.2x)

看上去是毫无规律可言吧，但是它也可以由一组正弦函数组成。


他们是可逆的，想不到吧，乱七八糟的东西也有规律了。但是他们就是这样组合而成的吗？不可能吧，所以这里就是不是同时开始的一组余弦函数，在叠加时要体现开始的时间。也就说组合的函数他们的开始时间是不一样的。在这里分别对应0，2，3.看公式就看出来啦。
这里多说一嘴就是说傅里叶变换从时域角度来看，这个世界是动态的！从频域角度来看这个世界是静止的。
从数学角度来讲：傅里叶变换将一个任意的周期函数分解成为无穷个正弦函数的和的形式。
从物理角度来讲：傅里叶变换实现了将信号从空间域到频率域的转换。

🌟小波变换基本原理

小波变换（Wavelet Transform）是一种信号分析方法，能将信号分解成不同尺度和位置的小波分量，以揭示信号在不同时间和频率上的局部特征。
小波是一种具有有限长度且均值为零的波形，它在时域上是局部化的，即在一段时间内有值，其他时间值为零。常用的小波函数有 Haar 小波、Daubechies 小波等。通过对小波函数进行伸缩和平移操作，可以得到一系列不同尺度和位置的小波基函数。

从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。

而小波变换的优势在于可以处理非稳定的信号，傅里叶变化则处理不了。
比如：对于下图来说

傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！
傅里叶变换：

小波变换：

🌟小波变换的优势

小波变换对于突变信号具有优势，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号。

🌟傅里叶变换及小波变换的应用

💛傅里叶变换

信号分析：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，让我们能够分析信号中包含的不同频率成分。例如，在音频信号处理中，我们可以通过傅里叶变换了解音频信号中各个频率的分布情况，从而进行降噪、滤波等处理。

系统分析：在电路分析、控制系统等领域，傅里叶变换可以将系统的输入输出关系从时域转换到频域，使我们能够更方便地分析系统的频率响应特性，如滤波器的通带、阻带等。

图像处理：在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的滤波、压缩等操作。例如，通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像转换到频域，然后去除高频噪声，再通过逆傅里叶变换将图像转换回空域，从而实现图像的降噪处理。

图像领域的傅里叶变换正操作

傅里叶变换的逆操作
这里就可以对图像进行加密操作，除了这个应用。我们还可以建立一个低频或者高频滤波器。去除图片中的低频信号或者去除高频信号。

高通滤波器可以衰减低频而通过高频，高通滤波器，将增强尖锐的细节，但是会导致图像
的对比度降低

衰减高频而通过低频，低通滤波器，将模糊一幅图像。

💛小波变换

信号处理领域
信号降噪：小波变换能够将信号分解到不同的尺度和频率上。在实际应用中，信号中的噪声通常集中在高频部分，而有用信号分布在不同频率范围。通过对小波系数进行阈值处理，将低于某一阈值的高频小波系数置为零，再进行小波逆变换，就可以有效去除噪声，同时保留信号的重要特征。例如在地震信号处理中，可去除随机噪声干扰，提高信号质量。
信号压缩：小波变换具有多分辨率分析的特点，能将信号的能量集中在少数重要的小波系数上。对这些系数进行量化和编码，而舍弃一些不重要的系数，就可以在保证一定信号质量的前提下，大大减少数据量。像 JPEG 2000 图像压缩标准就采用了小波变换，相比传统的 JPEG 标准，它在压缩比和图像质量上都有显著提升。
信号特征提取：小波变换可以将信号分解为不同尺度和频率的分量，这些分量能够反映信号在不同时间和频率上的局部特征。通过分析这些特征，可以提取出信号的重要信息，用于信号的分类、识别和诊断等。例如在机械故障诊断中，通过对振动信号进行小波变换，提取故障特征频率，从而判断机械设备是否存在故障以及故障的类型。
图像处理领域
图像去噪：与信号降噪类似，图像中的噪声主要集中在高频部分。利用小波变换将图像分解为不同尺度的子带，对高频子带进行阈值处理后再重构图像，可有效去除噪声，同时保留图像的边缘和细节信息。
图像压缩：小波变换能够将图像的能量集中在少数重要的系数上，通过对这些系数进行量化和编码，可以实现高效的图像压缩。例如在遥感图像、医学图像等大数据量图像的存储和传输中，小波压缩技术发挥了重要作用。
图像边缘检测：图像的边缘对应着信号的高频部分，通过小波变换可以突出图像的边缘信息。选择合适的小波基和尺度，对图像进行小波变换后，检测小波系数的模极大值点，即可确定图像的边缘位置。
医学领域
医学图像分析：在 X 光、CT、MRI 等医学图像中，小波变换可用于图像增强、去噪、压缩和特征提取等。例如在肿瘤检测中，通过小波变换提取图像的特征，有助于提高肿瘤的识别准确率。
生物电信号分析：对脑电图（EEG）、心电图（ECG）等生物电信号进行小波变换分析，可以检测信号中的异常成分，如癫痫发作时的脑电异常、心律失常时的心电异常等，为疾病的诊断和治疗提供依据。
通信领域
信道编码与调制：小波变换可用于设计高效的信道编码和调制方案。通过将信号进行小波变换，在不同的小波子带进行编码和调制，可以提高通信系统的抗干扰能力和频谱利用率。
多速率信号处理：在通信系统中，经常需要处理不同速率的信号。小波变换的多分辨率特性使其非常适合进行多速率信号处理，如信号的采样率转换、滤波器组设计等。
金融领域
金融时间序列分析：对股票价格、汇率等金融时间序列进行小波变换分析，可以分解出不同时间尺度的成分，帮助分析金融市场的长期趋势、短期波动和周期性变化，为投资决策提供参考。
风险管理：通过小波变换提取金融数据的特征，建立风险评估模型，对金融风险进行预警和管理。例如，分析市场风险因素在不同时间尺度上的影响，制定相应的风险控制策略。

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