原函数存在定理
内容来源
数学分析（第五版）上册
华东师范大学数学科学学院 编
高等教育出版社
原函数存在定理
变限积分
Φ ( x ) = ∫ a x f ( x ) d t , x ∈ [ a , b ] (1) \Phi(x)=\int^x_af(x)\mathcal{d}t,x\in[a,b]\tag{1} Φ(x)=∫axf(x)dt,x∈[a,b](1)
若 f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续
则 Φ \Phi Φ 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上处处可导，且
Φ ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( x ) d t = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] (2) \Phi'(x)=\frac{\mathcal{d}}{\mathcal{d}x} \int^x_af(x)\mathcal{d}t=f(x),x\in[a,b]\tag{2} Φ′(x)=dxd∫axf(x)dt=f(x),x∈[a,b](2)
证明
对 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上任一确定的 x x x
当 Δ x ≠ 0 \Delta x\neq0 Δx=0 且 x + Δ x ∈ [ a , b ] x+\Delta x\in[a,b] x+Δx∈[a,b] 时
由第一积分中值定理
Δ Φ Δ x = 1 Δ x ∫ x x + Δ x f ( t ) d t = f ( x + θ Δ x ) , θ ∈ [ 0 , 1 ] \frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\int^{x+\Delta x}_xf(t) \mathcal{d}t=f(x+\theta\Delta x),\theta\in[0,1] ΔxΔΦ=Δx1∫xx+Δxf(t)dt=f(x+θΔx),θ∈[0,1]
又 f f f 在点 x x x 连续
Φ ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ Φ Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + θ Δ x ) = f ( x ) \Phi'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\rightarrow0}f(x+\theta\Delta x)=f(x) Φ′(x)=Δx→0limΔxΔΦ=Δx→0limf(x+θΔx)=f(x)
此外
因为 f f f 的任意两个原函数只能相差一个常数
所以当 f f f 为连续函数时，它的原函数为
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + C F(x)=\int^x_af(t)\mathcal{d}t+C F(x)=∫axf(t)dt+C
令 C = F ( a ) , x = b C=F(a),x=b C=F(a),x=b
∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) \int^b_af(t)\mathcal{d}t=F(b)-F(a) ∫abf(t)dt=F(b)−F(a)
这是牛顿-莱布尼茨公式