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DirectX12（D3D12）基础教程三线性代数

article 2025/2/23 2:11:08

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量和矩阵是学习3D入门最基本的理论基础。本章重点讲向量和矩阵.

向量概念

向量最基本的定义就是一个方向和长度,如图坐标点(3,4)

根据 勾股定理 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 可以计算出它长度是5= $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ ，也叫做向量的模 。方向是与X轴的夹角θ,向量的长度和方向根据坐标可以计算出,通常书写标记为： $\binom{3}{4}$ 通常大家喜欢在字母上面加一横表示向量，如： $\bar{V}$ = $\binom{3}{4}$ 。

单位向量

有一个特殊类型向量的模（长度）等于1叫做单位向量，把一个向量变成单位向量这叫标准化。任意向量的每个分量除以向量的模就得到它的单位向量。特别是在我们只关心方向不关心模(长度)的时候。比如 $\bar{V}$ = $\binom{3}{4}$ 要标准化，先计算模 $\left | \right |\bar{v}\left | \right | = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$ ,然后除以向量的模 , $\binom{3}{4}$ 的单位向量 $\hat{n} = \frac{\bar{v=}\binom{3}{4}}{5} = \binom{3/5}{4/5}=\binom{0.6}{0.8}$ 。现在我们再计算向量 $\binom{0.6}{0.8}$ 的模 $\left \| \bar{v} \right \| =\sqrt{0.6^{2}+0.8^{2}}=\sqrt{0.36+0.64}=\sqrt{1}=1$ ,再次证实了。

向量运算

向量与标量加减乘除：

$\binom{X}{Y} [+-*/] Z = \binom{X[+-*/]Z}{Y[+-*/]Z}$ ，比如加法运算 : $\binom{3}{4} + 10 = \binom{3+10}{4+10} = \binom{13}{14}$

向量与向量的加减

$\binom{X}{Y}[+-]\binom{X2}{Y2} = \binom{X[+-]X2}{Y[+-]Y2}$ 比如加法运算 : $\binom{1}{2}+\binom{3}{4}=\binom{1+3}{2+4} = \binom{4}{6}$

以上都比较好理解，不做过多的说明了

向量相乘

普通的乘法在向量上是没有定义的,在3D世界里 ,两种特定情况:1.点乘(Dot Product)记作 $\bar{v} \cdot \bar{k}$ ，2.叉乘(Cross Product)记作 $\bar{v}\times \bar{k}$

1.点乘(Dot Product) ,两个向量的点乘结果等两个向量之间夹角的余弦值，可以算出向量之间夹角的角度，提前是先要标准化。点乘会在计算光照的时候非常有用。比如计算 $\binom{3}{4}$ 向量与X轴 $\binom{0}{1}$ 的夹角 $\Theta$ ，点乘会像是这样 $\cos\Theta =\binom{0.6}{0.8}\cdot \binom{0}{1} = 0.6*0+0.8*1=0.8$ 。

2.叉乘(Cross Product) 叉乘只在3D空间中有定义，它需要两个不平行向量作为输入，生成一个正交于两个输入向量的第三个向量。公式如下:

如看不懂，先放下。

矩阵

现在我们已经讨论了向量的全部内容，是时候看看矩阵了！简单来说矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)。下面是一个2×3矩阵的例子： $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4& 5& 6 \end{bmatrix}$ 可以把它看做一个两维数据。

矩阵运算

矩阵与与标量加减乘除比较好理解，比较如加法 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 &5 & 6 \end{bmatrix} + 10 =\begin{bmatrix} 10+1 & 10+2 & 10+3\\ 10+4 &10+5 &10+ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 12 & 13\\ 14 &15 & 16 \end{bmatrix}$

矩阵相乘

注意事项

1. 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘。
2. 矩阵相乘不遵守交换律也就是说A⋅B≠B⋅A

我们先看一个两个2×2矩阵相乘的例子

$\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 5 &6 \\ 7& 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*5+2*7 &1*6+2*8 \\ 3*5+4*7& 3*6 +4*8\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 19 &22 \\ 43& 50 \end{bmatrix}$