位运算实用技巧与LeetCode实战
位操作（Bit Manipulation）有很多有趣的技巧，其中一个比较著名的资源是 Bit Twiddling Hacks 网站，它收集了各种位操作的高阶玩法，网址是：
http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html
不过，这些技巧大多相对晦涩，并不适合每个人深入学习，更多时候它们更适合作为参考资料。真正值得掌握的是那些既有趣又实用的位运算技巧。
因此，本文会从浅入深，先介绍一些有趣的但可能用处不大的位运算技巧，再总结一些在算法问题和实际开发中非常常见且实用的位运算技巧。
0. 几个有趣的位操作
// 1. 利用或操作 `|` 和空格将英文字符转换为小写
('a' | ' ') = 'a'
('A' | ' ') = 'a'
// 2. 利用与操作 `&` 和下划线将英文字符转换为大写
('b' & '_') = 'B'
('B' & '_') = 'B'
// 3. 利用异或操作 `^` 和空格进行英文字符大小写互换
('d' ^ ' ') = 'D'
('D' ^ ' ') = 'd'
// 4. 不用临时变量交换两个数
int a = 1, b = 2;
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
// 现在 a = 2, b = 1
// 5. 加一
int n = 1;
n = -~n;
// 现在 n = 2
// 6. 减一
int n = 2;
n = ~-n;
// 现在 n = 1
// 7. 判断两个数是否异号
int x = -1, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // true
int x = 3, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // false
如果说前 6 个技巧的用处不大，这第 7 个技巧还是比较实用的，利用的是补码编码的符号位。整数编码最高位是符号位，负数的符号位是 1，非负数的符号位是 0，再借助异或的特性，可以判断出两个数字是否异号。
当然，如果不用位运算来判断是否异号，需要使用 if else 分支，还挺麻烦的。你可能想利用乘积来判断两个数是否异号，但是这种处理方式容易造成整型溢出，从而出现错误。
1. index & (arr.length - 1) 的运用
环形数组，其实就是利用求模（余数）的方式让数组看起来头尾相接形成一个环形，永远都走不完：
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
// 在环形数组中转圈
print(arr[index % arr.length]);
index++;
}
// 输出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...
但模运算 % 对计算机来说其实是一个比较昂贵的操作，所以我们可以用 & 运算来求余数：
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
// 在环形数组中转圈
print(arr[index & (arr.length - 1)]);
index++;
}
// 输出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...
注意这个技巧只适用于数组长度是 2 的幂次方的情况，比如 2、4、8、16、32 以此类推。
简单说，& (arr.length - 1) 这个位运算能够替代 % arr.length 的模运算，性能会更好一些。
那问题来了，现在是不断地 index++，你做到了循环遍历。但如果不断地 index--，还能做到环形数组的效果吗？
答案是，如果你使用 % 求模的方式，那么当 index 小于 0 之后求模的结果也会出现负数，你需要特殊处理。但通过 & 与运算的方式，index 不会出现负数，依然可以正常工作：
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
// 在环形数组中转圈
print(arr[index & (arr.length - 1)]);
index--;
}
// 输出：1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1...
我们自己写代码一般用不到这个技巧，但在学习一些其他代码库时可能会经常看到，这里留个印象，到时候就不会懵逼了。
2. n & (n-1) 的运用
n & (n - 1) 操作会将 n 的二进制表示中的最低位的 1 变为 0。它通过与 n - 1 的按位与运算，消除最低位的 1，而不影响其他位。
1.假设我们有一个整数 n = 36，它的二进制表示是 100100。
2.n - 1 = 35，二进制表示为 100011。
3.n & (n - 1)：
100100 (36)
& 100011 (35)
--------
100000 (32)
4.在这个例子中，n & (n - 1) 的操作将 n 二进制表示中最低位的 1 清除了。
其核心逻辑就是，将 n 的二进制表示中最右边的 1 变成 0。
2.1 计算汉明权重（Hamming Weight）
通过重复执行 n & (n - 1)，可以快速统计一个数字中 1 的个数（称为汉明重量）。这是力扣第 191 题「位 1 的个数」：
就是让你返回 n 的二进制表示中有几个 1。因为 n & (n - 1) 可以消除最后一个 1，所以可以用一个循环不停地消除 1 同时计数，直到 n 变成 0 为止。
class Solution {
int hammingWeight(int n) {
int res = 0;
while (n != 0) {
n = n & (n - 1);
res++;
}
return res;
}
}
2.2 判断 2 的指数
力扣第 231 题「2 的幂」就是这个问题。
一个数如果是 2 的指数，那么它的二进制表示一定只含有一个 1：
如果使用 n & (n-1) 的技巧就很简单了（注意运算符优先级，括号不可以省略）：
class Solution {
boolean isPowerOfTwo(int n) {
if (n <= 0)
return false;
return (n & (n - 1)) == 0;
}
}
3. a ^ a = 0 的运用
异或运算有一些非常重要的性质需要记住：
- 一个数与它自己做异或运算，结果是 0，即
a ^ a = 0。 - 一个数与 0 做异或运算，结果是它本身，即
a ^ 0 = a。
3.1 查找只出现一次的元素
通过以上运用，我们可以很轻松解决下吗这道题：这是力扣第 136 题「只出现一次的数字」：
对于这道题，我们只需要对所有数字进行异或操作。因为成对的数字异或后会变成 0，而剩下的唯一数字与 0 异或后仍然是它本身。因此，最终的异或结果就是那个只出现一次的数字。
class Solution {
int singleNumber(int[] nums) {
int res = 0;
for (int n : nums) {
res ^= n;
}
return res;
}
}
3.2 寻找缺失的元素
这是力扣第 268 题「丢失的数字」：
给定一个长度为 n 的数组，索引范围是 [0, n)，但现在我们要放入 n + 1 个元素，范围是 [0, n]，那么肯定有一个元素无法容纳。因此，问题就是要找出缺失的元素。
这道题不难，直观的方法是先对数组进行排序，然后遍历一遍，轻松找到缺失的元素。
另外，也可以使用哈希表，将数组中出现的元素存储起来，再遍历 [0, n] 范围内的数字，查找哈希表中是否存在，就能找到缺失的元素。
不过，排序方法的时间复杂度是 O(NlogN)，哈希表的方法时间复杂度是 O(N)，但还需要 O(N) 的空间复杂度来存储哈希表。
本篇文章的重点是位运算，我们来探讨如何利用位运算技巧来高效解决这个问题。
回顾一下异或运算的特性：一个数和它自己做异或运算结果是 0，一个数与 0 做异或运算仍然是它本身。
而且异或运算满足交换律和结合律，也就是说：
2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3
这道题可以巧妙地利用异或运算的性质来找出缺失的元素。我们可以通过以下方式来理解：
假设我们在数组的索引上多加一位，然后让每个元素与它应该对应的索引相匹配。例如，假设 nums = [0, 1, 4, 5, 2]：
首先，我们假设数组的索引从 [0, n] 都有对应的元素，然后将每个元素与其索引进行配对。这样做后，除了缺失的元素，其他元素的索引和元素会一一对应。
接着，通过使用异或操作，我们可以找出那个落单的索引 3，它就是缺失的元素的索引。通过这个索引，我们就能确定缺失的元素。
如何找这个落单的数字呢，只要把所有的元素和索引做异或运算，成对儿的数字都会消为 0，只有这个落单的元素会剩下，也就达到了我们的目的：
class Solution {
public int missingNumber(int[] nums) {
int n = nums.length;
int res = 0;
// 先和新补的索引异或一下
res ^= n;
// 和其他的元素、索引做异或
for (int i = 0; i < n; i++)
res ^= i ^ nums[i];
return res;
}
}
由于异或运算满足交换律和结合律，因此我们可以确保成对的数字会相互消除，最终只剩下缺失的那个元素。
位运算通常能够以更简洁、效率更高的方式解决问题，尤其是在空间和时间复杂度上常常有优势。这些技巧并不需要死记硬背，最重要的是掌握运算的原理和应用场景。只要对基本的位运算有一个清晰的印象，遇到实际问题时就能灵活应用。