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Python数据结构深度探索：树的构建与遍历

article 2025/2/24 10:10:14

Python数据结构深度探索：树的构建与遍历

一、树的基础概念

1.1 定义与特性

树（Tree）是一种非线性的层次化数据结构，具有以下核心特征：

由**节点（Node）和边（Edge）**组成
每个节点有零个或多个子节点
没有父节点的节点称为根节点（Root）
没有子节点的节点称为叶节点（Leaf）
任意两个节点之间有且仅有一条路径

1.2 核心术语

深度（Depth）：根节点到当前节点的边数
高度（Height）：当前节点到最深叶节点的边数
层级（Level）：根节点为第1层，子节点层级递增
子树（Subtree）：以某个节点为根的局部树结构

二、二叉树与二叉搜索树

2.1 二叉树定义

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

每个节点最多有两个子节点
左子树和右子树有明确区分

2.2 二叉搜索树（BST）

关键性质：
- 左子树所有节点值 < 根节点值
- 右子树所有节点值 > 根节点值
- 左右子树都是BST
操作复杂度：
- 查找：O(log n)
- 插入：O(log n)
- 删除：O(log n)

三、树的构建与操作

3.1 基础操作实现

class BinaryTree:
    def __init__(self):
        self.root = None

    def insert(self, val):
        """递归插入节点"""
        def _insert(node, value):
            if not node:
                return TreeNode(value)
            if value < node.val:
                node.left = _insert(node.left, value)
            else:
                node.right = _insert(node.right, value)
            return node
        
        self.root = _insert(self.root, val)

    def search(self, target):
        """迭代查找节点"""
        current = self.root
        while current:
            if target == current.val:
                return True
            elif target < current.val:
                current = current.left
            else:
                current = current.right
        return False

3.2 遍历算法

递归实现

def preorder(root):
    """前序遍历：根->左->右"""
    if root:
        print(root.val, end=' ')
        preorder(root.left)
        preorder(root.right)

def inorder(root):
    """中序遍历：左->根->右"""
    if root:
        inorder(root.left)
        print(root.val, end=' ')
        inorder(root.right)

def postorder(root):
    """后序遍历：左->右->根"""
    if root:
        postorder(root.left)
        postorder(root.right)
        print(root.val, end=' ')

迭代实现

def iterative_inorder(root):
    """栈实现中序遍历"""
    stack = []
    current = root
    while stack or current:
        while current:
            stack.append(current)
            current = current.left
        current = stack.pop()
        print(current.val, end=' ')
        current = current.right

四、每日挑战：验证二叉搜索树

4.1 题目要求

实现函数 is_valid_bst(root)：

输入：二叉树根节点
输出：布尔值（是否有效BST）
要求：
- 时间复杂度不超过O(n)
- 空间复杂度不超过O(n)

4.2 参考答案

# 方法一：递归边界检查
def is_valid_bst(root):
    def validate(node, low=-float('inf'), high=float('inf')):
        if not node:
            return True
        if not (low < node.val < high):
            return False
        return (validate(node.left, low, node.val) and 
                validate(node.right, node.val, high))
    
    return validate(root)

# 方法二：中序遍历验证
def is_valid_bst_inorder(root):
    stack, prev = [], -float('inf')
    while stack or root:
        while root:
            stack.append(root)
            root = root.left
        root = stack.pop()
        if root.val <= prev:
            return False
        prev = root.val
        root = root.right
    return True

五、复杂度对比

操作	平均复杂度	最坏情况
插入	O(log n)	O(n)
查找	O(log n)	O(n)
删除	O(log n)	O(n)
遍历	O(n)	O(n)

六、应用场景

文件系统目录结构
数据库索引（B树/B+树）
游戏决策树
XML/HTML文档解析
机器学习决策树算法

七、最佳实践

内存优化：使用线索二叉树减少空指针
平衡策略：AVL树或红黑树保持平衡
批量操作：Morris遍历实现O(1)空间遍历
可视化调试：使用Graphviz生成树结构图

# 安装graphviz：pip install graphviz
from graphviz import Digraph

def visualize_tree(root):
    dot = Digraph()
    def add_nodes(node):
        if node:
            dot.node(str(node.val))
            if node.left:
                dot.edge(str(node.val), str(node.left.val))
                add_nodes(node.left)
            if node.right:
                dot.edge(str(node.val), str(node.right.val))
                add_nodes(node.right)
    add_nodes(root)
    return dot