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堆排序：高效的选择排序

article 2025/2/27 0:51:52

大家好！今天我们来聊聊一种高效的选择排序算法——堆排序（Heap Sort）。堆排序是一种基于堆这种数据结构的排序算法，它是一种选择排序的优化版本，具有 O(n log n) 的时间复杂度。堆排序非常适合用来处理大规模数据集，并且它不需要额外的空间，因此是一个原地排序算法。

一、什么是堆？

堆是一种完全二叉树（Complete Binary Tree），并且堆中的元素满足特定的顺序：

最大堆（Max Heap）：每个父节点的值都大于或等于其子节点的值。根节点的值最大。
最小堆（Min Heap）：每个父节点的值都小于或等于其子节点的值。根节点的值最小。

堆通常用于快速找到最大（或最小）元素，因为根节点的值是最大（或最小）的。

二、堆排序的基本思想

堆排序的基本思想是：首先将数组构建成一个最大堆（或最小堆），然后将堆顶元素与数组的最后一个元素交换，接着重新调整堆，直到所有元素都排好序。

具体步骤如下：

构建最大堆：将给定的无序数组调整为最大堆。堆顶的元素是数组中最大的元素。
交换堆顶元素与数组的最后一个元素：将堆顶元素（最大元素）和堆的最后一个元素交换，并从堆中移除该元素。
调整堆：对堆进行调整，使其满足最大堆的性质。调整的过程是递归的，它会不断地将堆中最后一个元素调整到合适的位置，直到整个堆有序。
重复步骤 2 和 3，直到堆中只有一个元素，整个数组就被排序好了。

三、堆排序的实现

下面是 Java 实现的堆排序算法：

public class HeapSort {

    // 主函数，执行堆排序
    public static void heapSort(int[] arr) {
        int n = arr.length;

        // Step 1: 构建最大堆
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            heapify(arr, n, i);
        }

        // Step 2: 一个个取出元素
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
            // 将当前根节点（最大值）与最后一个元素交换
            swap(arr, 0, i);
            
            // 重新调整堆
            heapify(arr, i, 0);
        }
    }

    // 调整堆，使得根节点满足最大堆的性质
    private static void heapify(int[] arr, int n, int i) {
        int largest = i;  // 初始化最大值为根节点
        int left = 2 * i + 1;  // 左子节点
        int right = 2 * i + 2; // 右子节点

        // 如果左子节点比根节点大
        if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
            largest = left;
        }

        // 如果右子节点比根节点大
        if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
            largest = right;
        }

        // 如果最大值不是根节点，交换它们，并继续调整
        if (largest != i) {
            swap(arr, i, largest);
            heapify(arr, n, largest);
        }
    }

    // 交换数组中的两个元素
    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    // 打印数组
    public static void printArray(int[] arr) {
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {12, 11, 13, 5, 6, 7};
        System.out.println("原始数组：");
        printArray(arr);

        heapSort(arr);

        System.out.println("排序后的数组：");
        printArray(arr);
    }
}

四、代码解析

heapSort 函数：这是堆排序的主函数。首先通过 heapify 函数将输入的数组调整为最大堆。然后通过交换堆顶元素和数组的最后一个元素，并重新调整堆的方式，逐步将最大元素放到数组的末尾。每次调整堆的大小会减少 1，直到数组完全有序。
heapify 函数：这个函数的作用是调整一个子树，使其满足堆的性质。在给定一个根节点的情况下，heapify 会检查根节点与其左右子节点的大小关系，如果不满足堆的性质，就交换根节点和最大子节点的值，并递归调整子树。
swap 函数：用来交换数组中的两个元素。
printArray 函数：用来打印数组，查看排序前后的结果。

五、堆排序的时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度：

构建最大堆：需要 O(n) 时间。虽然我们要对每一个非叶子节点都进行 heapify 操作，但是最坏情况下，每次调整的时间复杂度为 O(log n)，所以构建最大堆的总时间复杂度是 O(n)。
排序过程：每次从堆中取出最大元素并重新调整堆，heapify 的时间复杂度为 O(log n)，总共需要 n-1 次堆调整，因此排序过程的时间复杂度是 O(n log n)。

综上所述，堆排序的总时间复杂度为 O(n log n)，在最坏、最优和平均情况下都是如此。