探索浮点数在内存中的存储（附带快速计算补码转十进制）

目录

一、浮点数在内存中的存储

1、常见的浮点数：

2、浮点数存储规则：

3、内存中无法精确存储：

4、移码与指数位E：

5、指数E的三种情况：

二、快速计算补码转十进制

1、第一种方法讨论：

2、第二种方法讨论：

3、第三种方法讨论：

4、第四种方法讨论：

一、浮点数在内存中的存储

1、常见的浮点数：

首先C语言中的浮点数是什么呢？说白了就是小数，这样的小数在C语言中主要有两种表示：

3.14159//这种是常见的浮点数，以小数形式出现
3.14E10//这种是科学计数法中的表示，浮点数为3.14×10^10，或写成3.14E+10

      既然整型在计算机中有表示范围，那么浮点数其实也是有范围的，我们可以在<limits.h>文件和<float.h>文件中查找到整型和浮点型的表示范围。那么整型和浮点型在内存中的存储相同吗？我们根据一段代码进行分析。

 int main()
 {
     int n = 9;
     float* pf = (float*)&n;
     printf("n = %d\n", n);//打印结果为：n = 9
     printf("*pf = %f\n", *pf);//打印结果为：*pf = 0.000000
 ​
     *pf = 9.0;
     printf("n = %d\n", n);//打印结果为：n = 1091567616
     printf("*pf = %f\n", *pf);//打印结果为：*pf = 9.000000
     return 0;
 }

注：上面的代码是在VS编译器的x64环境下的运行结果。

       这个代码得到了让人意想不到的结果，第1条和第4条printf()语句的输出结果自然不必多说，那么第2条和第3条的执行结果说明，整型数据和浮点型数据的存储方式是不同的。

2、浮点数存储规则：

       根据国际标准IEEE754，可以将任意一个浮点数V都写成(-1)^S×M×2^E，其中(-1)^S表示符号位，当S为0时，V为正数，S为1时，V为负数。M表示有效数字，规定范围在1和2之间，2^E表示指数位。

补充：探究二进制整数和小数的权重

    1111 1111 . 1111，整数部分的权重由小到大（从右向左）依次是2^0=1、2^1=2、2^2=4、2^3=8、2^4=16、2^5=32、2^6=64、2^7=128，小数部分权重由大到小（从左向右）依次是2^(-1)=0.5、2^(-2)=0.25、2^(-3)=0.125、2^(-4)=0.0625。

        比如5.5，转换成二进制是101.1，这样表示不是科学计数法所规定的，我们将小数点向左移动两位（称为左规两位），变成1.011×2^2（左规次方为正数，右规次方为负数），这样看，V=(-1)^0×1.011×2^2，其中S=0，M=1.011，E=2。

        这里我们就可以看出，为什么任何一个浮点数的M都是在1到2之间？因为对于任意一个数转换成二进制，最高位一定是1（因为如果是0可以不写），这样左规几次之后，M得到的值一定在1和2之间。

      下面将5.5存储到内存中，IEEE754规则如下，对于32位浮点数（float类型），使用1个比特位用来存放符号位S，用8个比特位存放指数位E，剩下的23个比特位存放有效数字M，但由于M的范围确定，所以最高位的1（整数部分的1）通常不需要存储，所以实际上可以存储24位有效数字。对于64位浮点数（double类型），使用1个比特位存放符号位S，11个比特位存放指数位E，剩下的52个比特位存放有效数字M，同样省略了M的最高位。

3、内存中无法精确存储：

       对于一些浮点数，计算机是无法准确进行存储的，比如5.3，它的小数部分0.3转换成二进制可能有非常多的位数（0.3的二进制为 0.010011 0011 0011...，1001部分无限循环），所以计算机存储的也是近似的数据。

//浮点数在内存中的存储
 int main()
 {
     float f = 5.3f;
     return 0;
 }

4、移码与指数位E：

       首先，E表示指数位，就一定是一个无符号整数，如果E有8位，那么范围是0~255，E有11位，范围是0~2047。但是E有可能是负数，比如0.5的科学计数法表示为1.0×2^(-1)，此时E=-1。

       为了避免这种情况的发生，我们将8位的E加上偏移量127，11位的E加上1023，这样就可以保证E一定为正数，这样的E的二进制表示称为移码表示，所以我们可知，加上偏移量的E的移码就一定为正数，但移码不止在浮点数中表示阶码，其他地方也有所体现，所以移码不一定为正数。

//浮点数在内存中的存储
 int main()
 {
     float f = 5.5f;
     //5.5的二进制表示101.1，科学计数法表示1.011×2^2
     //S=0(正数)，M=011 0000 0000 0000 0000 0000，E=2+127
     //二进制0 1000 0001 011 0000 0000 0000 0000 0000
     //对齐后结果0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000
     //对应的十六进制40 b0 00 00
     return 0;
 }

下面分析我们来最初的代码，代码如下。

int main()
 {
     int n = 9;
     float* pf = (float*)&n;
     printf("n = %d\n", n);//打印结果为：n = 9
     printf("*pf = %f\n", *pf);//打印结果为：*pf = 0.000000
 ​
     *pf = 9.0;
     printf("n = %d\n", n);//打印结果为：n = 1091567616
     printf("*pf = %f\n", *pf);//打印结果为：*pf = 9.000000
     return 0;
 }

先看第3条printf()语句。

//第3条printf()语句相当于下面的代码
 int main()
 {
     float f = 9.0f;
     //9.0的二进制是1001.0，科学计数法表示为1.0010×2^3
     //S=0，M=001 0000 0000 0000 0000 0000，E=3+127
     //二进制为0 1000 0010 001 0000 0000 0000 0000 0000
     //整理后0100 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000
     //十六进制为41 10 00 00
     //为什么输出1091567616呢？
     //这是因为计算机把0100 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000当成有符号数
     //2^20+2^24+2^30=1048576+16777216+1073741824=1091567616
     return 0;
 }

5、指数E的三种情况：

如果拿到一串浮点数的二进制数，计算E就分为下面三种情况。

1）E不为全0，也不是全1：

     拿到E的部分，比如1000 0001，用这个数的十进制减去127后，得到的就是E原来的值，即129-127=2，原来的E=2。

2）E为全0：

       此时的E如果是8位，则真实值是1-127=-126，如果是16位，则真实值是1-1023=-1022，实际上这个小数已经是非常非常小的一个数了，无限接近于0，那么计算机会将这样的小数按0来处理，这时的有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxx...的小数，这样做为了表示±0。也就是E、M全0时，这样的小数就按0处理。

3）E为全1：

如果E全为1，此时M全为0，这样的数字表示±∞，正负取决于符号位S。

这样特殊的数就有8种表示：

S	E	M	值
0	0	0	+0
1	0	0	-0
0	0	≠0	非规格化正数
1	0	≠0	非规格化负数
0	1	0	+∞
1	1	0	-∞
0	1	≠0	NaN
1	1	≠0	NaN

非规格化数字是计算机中一种特殊的数字。

NaN（非数）也是一种特殊的数字，含义是无定义的数或不可表示的数，比如0/0、∞/∞、∞-∞等等返回的都是一个非数。

下面就可以分析上面代码的第2条printf()语句了。

//第2条printf()语句
 int main()
 {
     int n = 9;
     printf("%f\n", n);//打印结果为：0.000000
     //9的二进制为0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001
     //其中E的部分是0000 0000，全为0
     //M的部分是000 0000 0000 0000 0000 1001
     //科学计数法表示为0.000 0000 0000 0000 0000 1001 × 2^(-126)，这已经是非常小的数字了
     //而且%f只能打印小数点后六位，结果自然是0.000000
     printf("%f\n", (float)n);//打印结果为：9.000000
     return 0;
 }

二、快速计算补码转十进制

       首先，只有负数才有补码，正数的补码就是原码，直接按照原码转换成十进制即可，所以下面计算的均是负数的补码转成十进制（《最快10秒钟就可以完成》）。

我们先看如何转换，之后在讨论是为什么这么转换。

目前，拿到一个负数的补码，我知道的有4种方法可以转换成十进制：

1、补码转成原码，再转换成十进制，比如1100 0101[补] 转成 1011 1011[原]，再转换成十进制就是-(1+2+8+16+32)=-59。

2、用最高位的位权依次加上其他位的值，比如1100 0101转换成十进制，-128+(1+4+64)=-59。

3、先求无符号数，再用256减去无符号数的值，最后取负数即可，比如1100 0101转换成十进制，-(256-(1+4+64+128))=-59。

4、直接按照补码进行计算，按照有0的位权相加，再加1，最后取负（这是我认为最快的方法），比如1100 0101转换成十进制，-(2+8+16+32+1)=-59。

      个人觉得第1种最常用，但是比较慢，第2、3种实际上差不多（第三种甚至比第二种还慢），第4种最快（因为对我们来说，取负操作要比含有负数的减法更受欢迎）。

       下面补充一种更快的计算数字相加的方法，是不是经常对于1+2+8+16+32这样的一串数字相加比较头疼，今天快速计算方法，8以下的数字一起计算（一眼就能算出结果），128以下的数字一起计算（绝大多数都是最大计算到128），那么剩下的就是8+16+32+64这种，只需将16看成2×8，32看成4×8，64看成6×8即可，比如1+2+8+16+32=3+(1+2+4)×8=56+3=59。

下面来讨论到底是为什么可以这么转换，如果对这里不感兴趣的同学，现在可以划走了~

1、第一种方法讨论：

       实际上，我也不知道为什么要这样转换，在学计算机的时候，就接触到这种方法了，但是用着用着感觉比较慢，于是开发出了其他的方法。

2、第二种方法讨论：

      对于正数的原码，其实每一位是有对应的位权的，比如1001[原]，对应的十进制就是2^0+2^3=9。我们知道，对于负数的补码来说，二进制的最高位表示符号位，它的位权是一个负值，比如1001[补]，对于的十进制就是-2^3+2^1=-7（每一位的位权不变，只是最高位是个负数）。

3、第三种方法讨论：

这种方法是我观察char类型和unsigned char类型数据的规律中得出的，数据如下：

       不难看出，char类型可以存储127个正数，128个负数，还有一个0，一共256个数据，所能表示的范围是-128~127。unsigned char类型可以存储255个正数和一个0，也是256个数据，所能表示的范围是0~255。

       同时上面的两组数据也有一些规律，观察有符号和无符号的十进制，当最高位为1时，对应的绝对值之和总是256，比如1000 0001[补]是-127[有]或129[无]，可以写成-127 = -(256-129)，而129用2^7+2^1计算。

       那么以后计算有符号数比较麻烦时，可以这样快速计算，即用256减去对应的无符号数，再取负，得到对应的有符号数。比如1011 0110[补]，无符号数是2^1+2^2+2^4+2^5+2^7=2+4+16+32+128=182，有符号数就是-(256-182)=-74。

这种计算方法的优点是把对应的无符号数也计算出来了，缺点还是比较慢。

4、第四种方法讨论：

       还有一种计算有符号数的方法，观察1000 0000 + 0111 1111结果为1111 1111，十进制为-1，我们可以找镜像，即把这个负数变成对应的正数（1变0，0变1），比如1011 0110，镜像过去的正数是0100 1001，用-1减去这个正数得到的就是负数，即-1-(1+8+64)=-74。

      这种方法与原反补转换计算有符号数几乎相同，但我们可以找捷径计算，直接拿到有符号数1011 0110，按照位权相加，此时要看有0的位置，即1+8+64=73，最后加1再取负数，即-(73+1)=-74，得到的就是有符号数的十进制大小。

        第四种说白了就是既然转成原码后可以按照“1”位置的位权相加，那么如果不转成原码呢？我们就可以看“0”位置的位权相加（反正一个负数的二进制最高位是1，看“0”的位权没有影响）。之后转成原码要加1，那我们不转也要加1（是不是有同学想成减1了，其实这时候不加1的值和原码不加1计算出来的值是一样的），最后整体加个负数即可。听懂掌声~