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归并排序：分而治之的排序之道

article 2025/2/28 4:43:08

在所有的排序算法中，归并排序（Merge Sort）是一种非常经典且高效的排序算法。它采用了分治法（Divide and Conquer）策略，凭借着优秀的时间复杂度和稳定性，广泛应用于实际的排序任务中。

今天，我们就来深入了解一下归并排序的基本思想、实现方式以及它的应用场景。

一、归并排序的基本思想

归并排序的核心思想是：将一个大问题分解为若干个小问题，分别解决这些小问题，再合并成一个大问题的解。具体来说，它的排序过程分为两步：

分解：将待排序数组不断拆分，直到每个子数组只包含一个元素。显然，只有一个元素的数组已经是有序的。
合并：将拆分出来的小数组两两合并，合并的过程中进行排序，直到最终合并成一个有序的大数组。

这种“分而治之”的策略使得归并排序能够高效地处理大规模数据，尤其是对链表或其他需要合并操作的场景非常适合。

二、归并排序的过程

举个例子，假设我们有一个数组 [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]，我们来通过归并排序对其进行排序。

分解：首先将数组分成两半：
- 左半部分： [38, 27, 43, 3]
- 右半部分： [9, 82, 10]
然后递归地继续拆分每一半，直到数组只包含一个元素。
合并：然后开始合并子数组，在合并的过程中对两个子数组进行插入排序。例如，合并 [38] 和 [27]，得到 [27, 38]，再继续合并，直到数组变得有序。

最终，经过合并操作，我们得到的有序数组是 [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]。

三、归并排序的实现

接下来，我们用 Java 来实现一个简单的归并排序。归并排序的核心是一个递归的过程，利用递归将数组分成更小的部分，然后合并这些部分。

public class MergeSort {

    // 主函数，执行归并排序
    public static void mergeSort(int[] arr) {
        if (arr.length < 2) {
            return;  // 如果数组长度小于2，直接返回
        }
        // 使用递归来分割数组
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    // 递归地分割数组
    private static void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {
        if (left >= right) {
            return;
        }

        int mid = (left + right) / 2;

        // 递归地对左右两部分进行归并排序
        mergeSort(arr, left, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, right);

        // 合并两个已排序的部分
        merge(arr, left, mid, right);
    }

    // 合并两个已排序的子数组
    private static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
        // 创建临时数组来存放合并后的结果
        int[] temp = new int[right - left + 1];

        int i = left;    // 左子数组的起始位置
        int j = mid + 1; // 右子数组的起始位置
        int k = 0;       // 临时数组的索引

        // 合并两个已排序的子数组
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                temp[k++] = arr[i++];
            } else {
                temp[k++] = arr[j++];
            }
        }

        // 将左子数组剩余的元素复制到临时数组
        while (i <= mid) {
            temp[k++] = arr[i++];
        }

        // 将右子数组剩余的元素复制到临时数组
        while (j <= right) {
            temp[k++] = arr[j++];
        }

        // 将临时数组复制回原数组
        System.arraycopy(temp, 0, arr, left, temp.length);
    }

    // 打印数组
    public static void printArray(int[] arr) {
        for (int num : arr) {
            System.out.print(num + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {5, 3, 8, 4, 2};
        System.out.println("原始数组：");
        printArray(arr);

        mergeSort(arr);

        System.out.println("排序后数组：");
        printArray(arr);
    }
}

四、代码解析

mergeSort 主函数：该函数是排序的入口。如果数组的长度小于 2，就直接返回，不需要排序。否则，它会调用 mergeSort(arr, left, right) 方法，递归地对数组进行分割。
递归分割数组：在 mergeSort(arr, left, right) 方法中，我们计算出中间位置 mid，然后递归地分别对左半部分（arr[left, mid]）和右半部分（arr[mid+1, right]）进行排序。
合并：merge 方法负责将两个已经排序的子数组合并成一个有序的数组。我们使用了一个临时数组 temp，将两个子数组的元素按顺序填入其中，最后将临时数组的内容复制回原数组。
System.arraycopy：用于将临时数组的元素复制回原数组。
打印数组：printArray 方法用于打印排序前后的数组。

五、归并排序的时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度：归并排序的时间复杂度为 O(n log n)。每次分割数组时，都需要 O(log n) 的操作，而每次合并操作需要 O(n) 的时间。因此，总体时间复杂度是 O(n log n)，无论是最优、最坏还是平均情况。
空间复杂度：归并排序需要额外的空间来存储临时数组，因此空间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组的长度。