2025-2-27-4.10 动态规划（0-1 背包问题）

4.10 动态规划（0-1 背包问题）

  0-1 背包问题，现在有点明了了，以前只觉得高大上，现在看来就是一个固定的模型思路，体积有限，物品有限，获取在固定体积下能得到的最大的物品价值。
原视频讲解链接

494. 目标和

题目链接
给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：
输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

题目解析：有一定的数学推导，具体看灵神的题解，不难理解。

方法一：递归

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:

        """
        方法一：递归
        时间复杂度：O(nm)，其中 n 为 nums 的长度，m 为 nums 的元素和减去 target 的绝对值。
            由于每个状态只会计算一次，动态规划的时间复杂度 = 状态个数 × 单个状态的计算时间。
            本题状态个数等于 O(nm)，单个状态的计算时间为 O(1)，所以动态规划的时间复杂度为 O(nm)。
        空间复杂度：O(nm)。保存多少状态，就需要多少空间。
        """

        s = sum(nums) - abs(target)
        if s < 0 or s % 2:
            return 0
        m = s // 2

        @cache #缓存装饰器，避免重复计算 dfs 的结果
        def dfs(i: int, c: int) -> int:
            if i < 0:
                return 1 if c == 0 else 0
            if c < nums[i]:
                return dfs(i - 1, c)
            return dfs(i - 1, c) + dfs(i - 1, c - nums[i]) # 不选 + 选
        
        return dfs(len(nums) - 1, m)
        

方法二：递推

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:

        """
        方法二：递推
        时间复杂度：O(nm)，
            其中 n 为 nums 的长度，
            m 为 nums 的元素和减去 target 的绝对值。
        空间复杂度：O(nm)。保存多少状态，就需要多少空间。
        """

        s = sum(nums) - abs(target)
        if s < 0 or s % 2:
            return 0
        m = s // 2
        n = len(nums)

        f = [[0] * (m + 1) for _ in range(n+1)]
        f[0][0] = 1

        for i, x in enumerate(nums):
            for c in range(m+1):
                if c < x:
                    f[i + 1][c] = f[i][c]
                else:
                    f[i + 1][c] = f[i][c] + f[i][c - x]
        return f[n][m]
        

方法三：递推+滚动数组

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:


       
        """
        方法三：递推+滚动数组
        时间复杂度：O(nm)，
            其中 n 为 nums 的长度，
            m 为 nums 的元素和减去 target 的绝对值。
        空间复杂度：O(m)。保存多少状态，就需要多少空间。
        """

        s = sum(nums) - abs(target)
        if s < 0 or s % 2:
            return 0
        m = s // 2
        n = len(nums)

        f = [[0] * (m + 1) for _ in range(2)]
        f[0][0] = 1

        for i, x in enumerate(nums):
            for c in range(m+1):
                if c < x:
                    f[(i + 1)%2][c] = f[i%2][c]
                else:
                    f[(i + 1)%2][c] = f[i%2][c] + f[i%2][c - x]
        return f[n%2][m]
 

方法四：递推+单个数组

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:

        """
        方法四：递推+简化数组
        时间复杂度：O(nm)，
            其中 n 为 nums 的长度，
            m 为 nums 的元素和减去 target 的绝对值。
        空间复杂度：O(m)。保存多少状态，就需要多少空间。
        """

        s = sum(nums) - abs(target)
        if s < 0 or s % 2:
            return 0
        m = s // 2
        n = len(nums)

        f = [1] + [0] * m

        for x in nums:
            for c in range(m,x-1,-1):
                    f[c] += f[c - x]
        return f[m]