10.【线性代数】—— 四个基本子空间
十、 四个基本子空间
讨论矩阵 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n的四个基本空间，m行 n列
1. 列空间 C ( A ) C(A) C(A) in R m R^m Rm
[
c
o
l
11
c
o
l
21
.
.
.
c
o
l
n
1
c
o
l
12
c
o
l
22
.
.
.
c
o
l
n
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
o
l
1
m
c
o
l
23
.
.
.
c
o
l
n
m
]
⏟
A
[
a
b
.
.
.
c
]
⏟
x
=
a
∗
c
o
l
1
+
b
∗
c
o
l
2
+
.
.
.
+
c
∗
c
o
l
n
\underbrace{\begin{bmatrix} col_{11}&col_{21}&...&col_{n1}\\ col_{12}&col_{22}&...&col_{n2}\\ ...&...&...&...\\ col_{1m}&col_{23}&...&col_{nm} \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} a\\b\\...\\c \end{bmatrix}}_{x} =a*col_1+b*col_2+...+c*col_n
A
col11col12...col1mcol21col22...col23............coln1coln2...colnm
x
ab...c
=a∗col1+b∗col2+...+c∗coln
其中
c
o
l
1
=
[
c
o
l
11
c
o
l
12
.
.
.
c
o
l
1
m
]
col_1 = \begin{bmatrix} col_{11}\\ col_{12}\\ ...\\ col_{1m} \end{bmatrix}
col1=
col11col12...col1m
，表示矩阵
A
m
∗
n
A_{m*n}
Am∗n的第一列。因为一行有m个元素，所以在
R
m
R^m
Rm空间中
将矩阵的每一列，看成一个向量，他们的所有线性组合（数乘和加法）在一个子空间中，这个子空间，记为 C(A)，即A的列空间。
维度为矩阵的秩，记
r
r
r
2. 零空间 N ( A ) N(A) N(A) in R n R^n Rn
矩阵A的零空间 ：满足 Ax =0 的所有向量。
由之前的知识，矩阵
A
A
A,可以化简为
[
I
F
0
0
]
\begin{bmatrix} I&F\\0&0 \end{bmatrix}
[I0F0]，得出零空间为
N
(
A
)
=
N
(
R
)
=
[
−
F
I
]
N(A)=N(R)=\begin{bmatrix} -F\\I \end{bmatrix}
N(A)=N(R)=[−FI]。
由于
A
一行有
n
个元素，所以
N
(
A
)
一列有
n
个元素，所以
N
(
A
)
在
R
n
空间
由于A一行有n个元素，所以N(A)一列有n个元素，所以N(A) 在 R^n 空间
由于A一行有n个元素，所以N(A)一列有n个元素，所以N(A)在Rn空间
维度=自由列的个数=
n
−
r
n-r
n−r
3. 行空间 C ( A T ) C(A^T) C(AT) in R n R^n Rn
矩阵 A A A的行空间 = 矩阵 A T A^T AT的列空间
之前进行矩阵消元时，矩阵
A
A
A化简得到矩阵
R
=
[
I
F
0
0
]
R=\begin{bmatrix} I&F\\0&0 \end{bmatrix}
R=[I0F0]。
矩阵
R
的列空间
C
(
R
)
≠
C
(
A
)
矩阵 R的列空间 C(R)\neq C(A)
矩阵R的列空间C(R)=C(A),但两者的行空间相同。
维度为
r
r
r。
4. 左零空间 N ( A T ) N(A^T) N(AT) in R m R^m Rm
由于
A
T
y
=
0
⇒
两遍求转置
y
T
A
T
T
=
0
⇒
y
T
A
⏟
左乘
=
0
A^Ty = 0 \xRightarrow{两遍求转置} y^T{A^T}^T = 0 \xRightarrow{} \underbrace{y^TA}_{\text{左乘}} = 0
ATy=0两遍求转置yTATT=0左乘
yTA=0
所以
N
(
A
T
)
N(A^T)
N(AT)称矩阵A的左零空间。
维度为
m
−
r
m-r
m−r。
综述
| 空间 | C ( A ) C(A) C(A) | C ( A T ) C(A^T) C(AT) | N ( A ) N(A) N(A) | N ( A T ) N(A^T) N(AT) |
|---|---|---|---|---|
| 基 | 主列 | - | 特殊解 | - |
| 维度 | r r r | r r r | n − r n-r n−r | m − r m-r m−r |
| 性质 | 行空间与列空间维度相同，行秩=列秩 |
5. 新的向量空间
所有3x3的矩阵(
M
M
M)
M
M
M的子空间： 所有上三角矩阵|| 对称矩阵|| 对角矩阵
子空间：满足其矩阵的线性组合(数乘、加减)都在其空间内