LeetCodehot 力扣热图100 括号生成

class Solution {
public:
    vector<string> ans; // 存储所有有效括号组合的结果集
    
    vector<string> generateParenthesis(int n) {
        string s; // 当前构建的括号字符串
        backtrack(0, 0, n, s); // 初始调用回溯函数
        return ans;
    }
    
    void backtrack(int open, int close, int n, string &s) {
        // 终止条件：当前字符串长度等于2n，说明得到一个有效组合
        if (s.size() == 2 * n) {
            ans.push_back(s);
            return;
        }
        
        // 添加左括号的条件：已使用左括号数小于n
        if (open < n) {
            s.push_back('('); // 选择：添加左括号
            backtrack(open + 1, close, n, s); // 递归探索后续可能性
            s.pop_back(); // 回溯：撤销选择，尝试其他可能性
        }
        
        // 添加右括号的条件：已使用右括号数小于左括号数
        if (close < open) {
            s.push_back(')'); // 选择：添加右括号
            backtrack(open, close + 1, n, s); // 递归探索后续可能性
            s.pop_back(); // 回溯：撤销选择，尝试其他可能性
        }
    }
};

以下是当 `n=3` 时，回溯算法生成所有有效括号组合的详细运行步骤和回溯过程分析：

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### **递归步骤详解（n=3）**
#### **初始状态**
- `open=0`, `close=0`, `s=""`

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#### **步骤1：添加第一个左括号**
```plaintext
s = "("
open=1, close=0
递归调用 backtrack(1,0,3,"(")
```

---

#### **步骤2：添加第二个左括号**
```plaintext
s = "(("
open=2, close=0
递归调用 backtrack(2,0,3,"((")
```

---

#### **步骤3：添加第三个左括号**
```plaintext
s = "((("
open=3, close=0
递归调用 backtrack(3,0,3,"(((")
```

---

#### **步骤4：添加右括号（close < open）**
```plaintext
s = "((()"
open=3, close=1
递归调用 backtrack(3,1,3,"((()")
```

---

#### **步骤5：继续添加右括号**
```plaintext
s = "((())"
open=3, close=2
递归调用 backtrack(3,2,3,"((())")
```

---

#### **步骤6：完成第一个有效组合**
```plaintext
s = "((()))"
open=3, close=3
递归终止，保存结果 "((()))"
回溯到步骤5 → s = "((())"
```

---

#### **步骤7：回溯并探索其他路径**
```plaintext
回溯到步骤4 → s = "((()"
添加右括号：
s = "((())"
open=3, close=2 → 重复步骤5-6，但已处理
继续回溯到步骤3 → s = "((("
无法添加更多左括号（open=3），添加右括号：
s = "((()"
open=3, close=1 → 重复步骤4
```

---

#### **步骤8：回溯到步骤2 → s = "(("**
```plaintext
添加右括号（close < open）：
s = "(()"
open=2, close=1
递归调用 backtrack(2,1,3,"(()")
```

---

#### **步骤9：添加左括号**
```plaintext
s = "(()("
open=3, close=1
递归调用 backtrack(3,1,3,"(()(")
添加右括号：
s = "(()()"
open=3, close=2
递归调用 backtrack(3,2,3,"(()()")
继续添加右括号：
s = "(()())"
保存结果 "(()())"
回溯到 s = "(()()" → 弹出右括号
```

---

#### **步骤10：回溯到 s = "(()("**
```plaintext
无法添加左括号（open=3），添加右括号：
s = "(()())" → 已保存
继续回溯到 s = "(()"
```

---

#### **步骤11：回溯到 s = "(()"**
```plaintext
添加右括号（close < open）：
s = "(())"
open=2, close=2
递归调用 backtrack(2,2,3,"(())")
```

---

#### **步骤12：添加左括号**
```plaintext
s = "(())("
open=3, close=2
递归调用 backtrack(3,2,3,"(())(")
添加右括号：
s = "(())()"
保存结果 "(())()"
回溯到 s = "(())(" → 弹出左括号
```

---

#### **步骤13：回溯到 s = "(())"**
```plaintext
添加右括号：
s = "(())" → 无法继续（close=2 < open=2 不成立）
回溯到 s = "(()"
```

---

#### **步骤14：回溯到步骤1 → s = "("**
```plaintext
添加右括号（close < open）：
s = "()"
open=1, close=1
递归调用 backtrack(1,1,3,"()")
```

---

#### **步骤15：添加左括号**
```plaintext
s = "()("
open=2, close=1
递归调用 backtrack(2,1,3,"()(")
添加左括号：
s = "()(("
open=3, close=1
递归调用 backtrack(3,1,3,"()((")
添加右括号：
s = "()(()"
→ 继续递归直到生成 "()(())"
保存结果 "()(())"
回溯到 s = "()(()" → 弹出右括号
```

---

#### **步骤16：回溯到 s = "()(("**
```plaintext
添加右括号：
s = "()(()" → 重复
继续回溯到 s = "()("
添加右括号：
s = "()()"
open=2, close=2
递归调用 backtrack(2,2,3,"()()")
```

---

#### **步骤17：添加左括号**
```plaintext
s = "()()("
open=3, close=2
递归调用 backtrack(3,2,3,"()()(")
添加右括号：
s = "()()()"
保存结果 "()()()"
```

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### **最终结果**
所有有效组合（共5种）：
1. `((()))`
2. `(()())`
3. `(())()`
4. `()(())`
5. `()()()`

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### **关键回溯路径图（简化版）**
```plaintext
开始（空字符串）
|
├─ 添加'(' → "("
│   ├─ 添加'(' → "(("
│   │   ├─ 添加'(' → "((("
│   │   │   └─ 添加')' → "((()" → ... → "((()))"
│   │   └─ 添加')' → "(()" → ... → "(()())", "(())()"
│   └─ 添加')' → "()"
│       ├─ 添加'(' → "()(" → ... → "()(())", "()()()"
│       └─ 添加')' → 无效（剪枝）
└─ 添加')' → 无效（剪枝）
```

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### **算法核心逻辑**
1. **左括号优先**：只要左括号未达 `n`，优先添加左括号。
2. **右括号限制**：右括号数量必须小于左括号时才能添加。
3. **回溯剪枝**：通过 `s.pop_back()` 撤销无效尝试，避免重复路径。

此过程通过递归和回溯系统地探索所有可能的组合，并利用剪枝条件确保每一步都是有效的。