线代[9]｜线性代数主要内容及其发展简史（任广千《线性代数的几何意义》的附录1）

向量

向量又称为矢量，最初应用与物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则得到。

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿。向量进入数学并得到发展的阶段是18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数 $a+bi$ ，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。 但复数的利用是受到限制的，因为它仅能表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。

19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发表了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。随后，电磁理论的发现者、英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。

三维向量分析的开创，以及与四元数的正式分裂，是美国的吉布斯（Gibbs）和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

一般日常生活中使用的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向。但是在高等数学中还有更广泛的向量。例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量。在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的。这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象。这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了。因此，向量空间的概念已成为数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用。而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供了一个具体的模型。

从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

行列式

行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由日本数学家关孝和以及德国的莱布尼茨发明的。关孝和于1683年在其著作《解伏题之法》中第一次提出了行列式的概念与展开算法。同时代的莱布尼茨是欧洲第一个提出行列式概念的人。他在1693年4月写给洛必达的一封信中使用了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。

1750年，瑞士数学家克莱姆（G.Cramer，1704-1752）在其著作《线性代数分析导言》中对行列式的定义和展开法则给出了较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的“克莱姆法则”。稍后，法国数学家贝祖（E.Bezout，1730-1783）将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个有n个未知量的n个齐次线性方程组有非零解的方法，就是系数行列式等于零是这个方程组有非零解的条件。

总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯、逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙（A.T.Vandermonde，1735-1796)。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。

继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是法国大数学家柯西（Cauchy）。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念：改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比（J.Jacobi，1804-1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使了行列式理论在19世纪得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。

矩阵

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。矩阵这个词来源于拉丁语，代表一排数。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显地表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上发生的次序正好相反。

英国数学家凯莱（A.Cayley，1821-1895）一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱在研究线性变换下的不变量相结合时，首先引进矩阵以简化记号，1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。他用单一的字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的，其公式 $det(AB)=det(A)det(B)$ 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。

1855年，埃米特（Cherie，1822-1901）证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施（A.Clebsch，1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim）等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯（H.Taber）引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯（G.Frobenius，1849-1917）的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质。矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为 矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论 等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由皮亚诺（Peano）于1888年提出的，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

线性方程组

线性方程组的解法早在中国古代的数学著作《九章算术》的方程一章中已作了比较完整的论述。《九章算术》是综合性的历史著作，原作者不详，据研究西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补，魏晋时的数学家刘徽做过详细注解。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题。在这部书的手稿中解释了如何消去变元的方法求解带有三个未知量的三方程系统，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。

在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了n个n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。

19世纪，英国数学家史密斯（H.Smith）和道奇森（C.L.Dodgson）继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。

二次型

二次型也称为“二次形式”。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准形时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准形时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定理，但没有证明。这个定理后被雅可比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

P.S. 2025年3月1日上午10点39分全篇文章收录完毕，在夜间21点8分手动截图添加一位位数学家的头像。如该篇文章标题所示，博主首次看到这篇文章在本人2020年11月7日所购之书《线性代数的几何意义》（任广千）的附录1，上一篇文章《线代[8]｜北大丘维声教授《怎样学习线性代数？》（红色字体为博主本人注释）》则是附录2。博主本人看完这两篇久矣，2025年2月末反复翻看该书时终归还是动了收录的念头。「2025.3.1 21:21」