关于手眼标定的数学模型及标定流程
手眼标定介绍
在手眼标定中，AX=XB和AX=YB是两种常见的数学模型，用于描述相机和机械臂之间的关系。
手眼标定中的两种情况：眼在手上（Eye-in-Hand）和眼在手外（Eye-to-Hand）
- 求解略有不同，但基本原理相似。
眼在手外（Eye-to-Hand）
| H cam base H_{\text{cam}}^{\text{base}} Hcambase= H tool base H_{\text{tool}}^{\text{base}} Htoolbase* H cal tool H_{\text{cal}}^{\text{tool}} Hcaltool* H cam cal H_{\text{cam}}^{\text{cal}} Hcamcal |
|---|
在这种配置中，相机固定在工作空间的某个位置，观察整个机械臂的运动。此时，变换矩阵X表示相机相对于机械臂基座的固定变换。
这时候，我们让机械臂两个位置，保证这两个位置都能使得camera看到标定板
假设A=
H
tool
base
H_{\text{tool}}^{\text{base}}
Htoolbase，B=
H
cal
tool
H_{\text{cal}}^{\text{tool}}
Hcaltool, C=
H
cam
cal
H_{\text{cam}}^{\text{cal}}
Hcamcal
那么两个位置的等式如下：
| A 1 A_{\text{1}} A1 * B B B * C 1 C_{\text{1}} C1 = A 2 A_{\text{2}} A2 * B B B * C 2 C_{\text{2}} C2 |
|---|
等式转换
| A 2 -1 A_{\text{2}}^{\text{-1}} A2-1 * A 1 A_{\text{1}} A1 * B B B = B B B * C 2 C_{\text{2}} C2 * C 2 -1 C_{\text{2}}^{\text{-1}} C2-1 |
|---|
此时就能获得关于AX=XB问题：
AXXB 模型
- A：表示机械臂在两个不同位置之间的变换矩阵。
- X：表示相机相对于机械臂末端的固定变换矩阵（手眼变换矩阵）。
- B：表示标定板在两个不同位置之间的变换矩阵。
这个模型的目标是同时求解变换矩阵X和Y，使得在不同位置下的变换关系成立。
眼在手上（Eye-in-Hand）
公式如下
| H tool cam H_{\text{tool}}^{\text{cam}} Htoolcam= H tool base H_{\text{tool}}^{\text{base}} Htoolbase* H base cal H_{\text{base}}^{\text{cal}} Hbasecal* H cal cam H_{\text{cal}}^{\text{cam}} Hcalcam |
|---|
在这种配置中，相机安装在机械臂的末端执行器上。此时，变换矩阵X表示相机相对于机械臂末端的固定变换。
这时候，我们让机械臂两个位置，保证这两个位置都能使得camera看到标定板
假设A=
H
tool
base
H_{\text{tool}}^{\text{base}}
Htoolbase，B=
H
base
cal
H_{\text{base}}^{\text{cal}}
Hbasecal, C=
H
cal
cam
H_{\text{cal}}^{\text{cam}}
Hcalcam
那么两个位置的等式如下：
| A 1 A_{\text{1}} A1 * B B B * C 1 C_{\text{1}} C1 = A 2 A_{\text{2}} A2 * B B B * C 2 C_{\text{2}} C2 |
|---|
等式转换
| A 2 -1 A_{\text{2}}^{\text{-1}} A2-1 * A 1 A_{\text{1}} A1 * B B B = B B B * C 2 C_{\text{2}} C2 * C 2 -1 C_{\text{2}}^{\text{-1}} C2-1 |
|---|
此时又能获得关于AX=XB问题：
AX=XB 模型
- A：表示机械臂在两个不同位置之间的变换矩阵。
- X：表示相机相对于机械臂末端的固定变换矩阵（手眼变换矩阵）。
- B：表示相机在两个不同位置之间的变换矩阵。
这个模型的目标是求解变换矩阵X，使得在不同位置下的变换关系成立。
AX = XB问题的求解
- Y. Shiu, S. Ahmad Calibration of Wrist-Mounted Robotic Sensors by Solving Homogeneous Transform Equations of the Form AX = XB. In IEEE Transactions on Robotics and Automation, 5(1):16-29, 1989.
- R. Tsai, R. Lenz A New Technique for Fully Autonomous and Efficient 3D Robotics Hand/Eye Calibration. In IEEE Transactions on Robotics and Automation, 5(3):345-358, 1989.
5 - Horaud, Radu, and Fadi Dornaika. “Hand-eye calibration.” The international journal of robotics research 14.3 (1995): 195-210.
- Daniilidis, Konstantinos. “Hand-eye calibration using dual quaternions.” The International Journal of Robotics Research 18.3 (1999): 286-298.
基本 OpenCV 或者 Matlab 都是采用了张老师的方法：
- Zhang, Zhengyou. “A flexible new technique for camera calibration.” IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence 22.11 (2000): 1330-1334.
AX=YB 模型
此外，还有AX=YB模型，这种情况会通过迭代优化的方式来求解。
这个模型表示不同位置下，机器人末端执行器和相机之间的变换关系：
- A：表示机器人末端执行器的变换矩阵。
- X：表示相机坐标系到机器人末端执行器坐标系的变换矩阵（手眼变换矩阵）。
- Y：表示相机坐标系到机器人基座坐标系的变换矩阵。
- B：表示相机的变换矩阵。
通过求解这个方程，可以得到 X 和 Y 矩阵，从而确定相机相对于机器人末端执行器和机器人基座的变换关系。