代数结构—笔记
线性空间
如果满足以下性质，则域
K
K
K上定义了二元运算（加法）与二元函数（数乘）的非空集合
X
X
X称为线性空间。
1、加法封闭性：对任意
u
,
v
∈
X
u, v \in X
u,v∈X，存在
u
+
v
∈
X
u+v\in X
u+v∈X
2、数乘封闭性：对任意
u
∈
X
,
α
∈
K
u \in X, \alpha \in K
u∈X,α∈K，存在
α
u
∈
X
\alpha u \in X
αu∈X
3、加法交换性：
u
+
v
=
v
+
u
u+v=v+u
u+v=v+u
4、加法结合性：
(
u
+
v
)
+
w
=
u
+
(
v
+
w
)
(u+v)+w=u+(v+w)
(u+v)+w=u+(v+w)
5、加法单位元：存在
0
∈
X
0 \in X
0∈X，使得
z
+
0
=
z
z+0=z
z+0=z
6、加法逆元：存在
−
z
∈
X
-z \in X
−z∈X，使得
z
+
(
−
z
)
=
0
z+(-z)=0
z+(−z)=0
7、数乘分配性：
α
(
u
+
v
)
=
α
u
+
α
v
,
(
α
+
β
)
u
=
α
u
+
β
u
\alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v, (\alpha+\beta)u=\alpha u + \beta u
α(u+v)=αu+αv,(α+β)u=αu+βu
8、数乘结合性：
(
α
β
)
u
=
α
(
β
u
)
(\alpha \beta) u = \alpha (\beta u)
(αβ)u=α(βu)
9、数乘单位元：
1
u
=
u
1u=u
1u=u
其中，
u
,
v
,
w
∈
X
,
α
,
β
∈
K
u,v, w\in X, \alpha, \beta \in K
u,v,w∈X,α,β∈K
群
如果满足以下性质，则定义了二元运算
⋅
\space \cdot \space
⋅ 的非空集合
G
G
G称为群。
1、封闭性：对任意
g
,
h
∈
G
g, h \in G
g,h∈G，存在
g
⋅
h
∈
G
g \cdot h \in G
g⋅h∈G
2、结合性：
(
g
⋅
h
)
⋅
l
=
g
⋅
(
h
⋅
l
)
(g\cdot h) \cdot l = g \cdot (h \cdot l)
(g⋅h)⋅l=g⋅(h⋅l)
3、单位元：存在
e
∈
G
e \in G
e∈G，使得
e
⋅
g
=
g
⋅
e
=
g
e \cdot g = g \cdot e = g
e⋅g=g⋅e=g
4、逆元：存在
g
ˉ
∈
G
\bar{g} \in G
gˉ∈G，使得
g
ˉ
g
=
g
g
ˉ
=
e
\bar{g} g = g\bar{g} = e
gˉg=ggˉ=e
其中，
g
,
h
,
l
∈
G
g,h,l \in G
g,h,l∈G
实数乘法群：非零实数组成的集合，运算为乘法，单位元为
1
1
1。
矩阵群：行列式不为零的实矩阵组成的集合，运算为矩阵乘法，单位元为单位矩阵
E
E
E。
交换群或阿贝尔群：满足交换性的群。
矩阵一般不满足交换性，因此维数
n
≥
2
n\geq 2
n≥2的矩阵群不是交换群。
三维旋转群：三维空间中所有绕固定点旋转组成的集合，群运算是两个旋转的合成，逆元素是反向旋转。
（对于单位元，书中说是单位元以显然的方式作用于所有点，很讨厌“显然”这个词，我认为是零度旋转）
变换群：所有双射
g
:
X
→
X
g: X\to X
g:X→X的集合形成一个群
G
(
X
)
G(X)
G(X)。
群运算为映射的合成
(
g
h
)
(
x
)
=
g
(
h
(
x
)
)
(gh)(x)=g(h(x))
(gh)(x)=g(h(x))，其中
x
∈
X
,
g
,
h
∈
G
(
X
)
x\in X, g,h\in G(X)
x∈X,g,h∈G(X)
单位元为恒等映射
i
d
:
X
→
X
id: X\to X
id:X→X，
i
d
(
x
)
=
x
,
x
∈
X
id(x)=x, x\in X
id(x)=x,x∈X
如果
H
⊂
G
H\subset G
H⊂G，且对于任意
g
,
h
∈
H
g,h\in H
g,h∈H有
g
h
−
1
∈
H
gh^{-1}\in H
gh−1∈H，则
H
H
H为
G
G
G的子群。
如果满足
g
h
g
−
1
∈
H
ghg^{-1}\in H
ghg−1∈H，则
H
H
H为
G
G
G的正规子群。
加法群是一个交换群。
实数集
R
R
R，运算
+
+
+就是一个加法群。
每个线性空间是一个加法群。
群同态
群同态是两个群的映射
ϕ
:
G
→
H
\phi: G\to H
ϕ:G→H满足：
∀
g
,
h
∈
G
\forall g, h \in G
∀g,h∈G，都有
ϕ
(
g
h
)
=
ϕ
(
g
)
ϕ
(
h
)
\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)
ϕ(gh)=ϕ(g)ϕ(h)。
若映射为双射，则称为群同构。
群的自同构指 G G G到自身的同构，即 ϕ : G → G \phi: G\to G ϕ:G→G为同构映射。
群的所有自同构映射的合成形成一个新群，称为自同构群，记作
A
u
t
(
G
)
Aut(G)
Aut(G)，
A
u
t
(
G
)
Aut(G)
Aut(G)刻画了
G
G
G的对称性。
A
u
t
(
G
)
Aut(G)
Aut(G)是一种变换群。
环
如果集合
R
R
R是加法群，并满足以下性质，则称为环。
1、乘法封闭性：对任意
a
,
b
∈
R
a,b \in R
a,b∈R，存在
a
b
∈
R
ab\in R
ab∈R
2、乘法结合性：
a
(
b
c
)
=
(
a
b
)
c
a(bc)=(ab)c
a(bc)=(ab)c
3、乘法分配律：
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
,
(
b
+
c
)
a
=
b
a
+
c
a
a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca
a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca
其中，
a
,
b
,
c
∈
R
a,b,c \in R
a,b,c∈R。
域
如果集合
K
K
K满足以下性质，则其称为域。
1、
K
K
K是有单位元的加法群
2、
K
K
K是有单位元的乘法群
3、
K
K
K是一个环
4、
K
K
K满足乘法交换性
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
[3] 数学指南-实用数学手册. 李文林
[4] 三维旋转的表示方法. https://www.cnblogs.com/Heskey0/p/16182834.html