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C++二分图

article 2025/3/3 17:41:44

二分图（Bipartite Graph）是一种特殊的图结构，其顶点可以分成两个互不相交的集合，使得每条边的两个顶点分别属于这两个集合。二分图在匹配问题（如任务分配、婚姻匹配）和网络流算法中有重要应用。

核心概念

定义：图 ( G = (V, E) ) 的顶点集 ( V ) 可划分为两个不相交的子集 ( U ) 和 ( V )，使得每条边的两个端点分别属于 ( U ) 和 ( V )。
特性：
- 图中不包含奇数长度的环。
- 可以用颜色标记法（如红蓝染色）验证是否为二分图。

检测二分图的算法

通过颜色标记法（DFS/BFS遍历染色）判断图是否满足二分性：

算法步骤

选择一个起始顶点，标记为颜色1（如红色）。
遍历其所有相邻顶点，标记为颜色2（如蓝色）。
递归或迭代处理相邻顶点，若发现相邻顶点颜色冲突（相同颜色），则图不是二分图。
对所有未访问的连通分量重复此过程。

C++ 模板代码（基于邻接表的DFS实现）

#include <vector>
#include <queue> // 若用BFS需包含此头文件

using namespace std;

class Solution {
public:
    bool isBipartite(vector<vector<int>>& graph) {
        int n = graph.size();
        vector<int> color(n, -1); // -1表示未染色，0和1表示两种颜色
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (color[i] == -1) { // 处理每个连通分量
                if (!dfs(graph, color, i, 0)) return false;
                // 若用BFS：if (!bfs(graph, color, i)) return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
private:
    // DFS实现
    bool dfs(vector<vector<int>>& graph, vector<int>& color, int node, int current_color) {
        if (color[node] != -1) {
            return color[node] == current_color; // 检查颜色是否冲突
        }
        color[node] = current_color;
        for (int neighbor : graph[node]) {
            if (!dfs(graph, color, neighbor, 1 - current_color)) return false;
        }
        return true;
    }

    // BFS实现
    bool bfs(vector<vector<int>>& graph, vector<int>& color, int start) {
        queue<int> q;
        q.push(start);
        color[start] = 0; // 初始颜色为0
        
        while (!q.empty()) {
            int node = q.front();
            q.pop();
            for (int neighbor : graph[node]) {
                if (color[neighbor] == -1) { // 未染色
                    color[neighbor] = 1 - color[node]; // 染相反颜色
                    q.push(neighbor);
                } else if (color[neighbor] == color[node]) { // 颜色冲突
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
};