什么是线性代数
什么是线性代数
初等代数：最初人们用数来表示世间万物，数学家用初等代数完成了用字母来代表数。
高等代数：对运算规则本身进行抽象，研究代数结构的性质。
线性代数介于初等代数和高等代数之间，线性代数是研究线性空间和线性变换的抽象代数分支。
线性空间
线性空间又称向量空间，它是一个包含了向量的集合，并且在这个集合中向量可以进行加法和数乘运算，运算后的结果依然包含在这个空间之内。
向量
向量可以看作时一些有顺序的数排列成的数组，N个有序数组成的就是N维向量。这种定义脱离了几何的限制，从而处理更高维的向量。
比如一个经济学模型中通常有上干个变量，这样的变量空间时无法用几何手段来处理的，但是代数方法就非常好用了，可以交给计算机来处理，这就是线性代数的实用价值所在。
向量的运算的几何意义
加法的平行四边形法则
向量数乘是对向量进行伸缩。
线性变换
线性（向量）空间描述的只是一个静态空间，再加上线性变换，就可以让这个空间动起来。
线性变换描述了如何从一个向量映射到另一个向量，并且这种映射保持了向量的加法和数乘运算的规则。
线性其实就是可加性和齐次性，从几何角度可以被看作是保持原有的几何结构不变的变换，就是把线段映射到线段，把向量映射成向量。
- 可加性
一个线性映射可以把向量的和的作用等同于对每一个分量分别作用再相加，简单理解就是线性映射保持了向量加法的结构。
- 齐次性
当向量被放大或缩小时，线性映射后的结果也会被同样的倍数放大和缩小，也就是说线性映射保持了向量的比例关系。
矩阵与线性变换
在线性代数中最常用的概念矩阵其实就是用来表示线性变换的。
旋转矩阵
矩阵的特征向量和特征值
如果矩阵对某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩比例就是特征值。
A
v
=
[
2
0
0
2
]
[
1
1
]
=
2
[
1
1
]
Av=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}
Av=[2002][11]=2[11]