证明：曲线的可导点不能同时为极值点和拐点
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在某点 x 0 x_0 x0处可导,并且满足：
- x 0 x_0 x0是极值点,即 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0；
- x 0 x_0 x0是拐点,即曲率发生变化,或者等价地, f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)在 x 0 x_0 x0处变号。
1. 极值点的性质
由于 x 0 x_0 x0是极值点,必要条件是 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0)=0。此外,在极值点附近,二阶导数 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f′′(x0)需要满足：
- 若 f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0)>0 f′′(x0)>0,则 x 0 x_0 x0处为局部极小值点(函数在此点呈“凹”形)。
- 若 f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f''(x_0)<0 f′′(x0)<0,则 x 0 x_0 x0处为局部极大值点(函数在此点呈“凸”形)。
2. 拐点的性质
拐点的定义是曲率发生变化,即
f
′
′
(
x
)
f''(x)
f′′(x)在
x
0
x_0
x0处变号。这意味着：
在
x
0
x_0
x0左侧,
f
′
′
(
x
)
f''(x)
f′′(x)和右侧的符号相反。
3. 产生矛盾
在极值点
x
0
x_0
x0,
f
′
′
(
x
0
)
f''(x_0)
f′′(x0)不等于零,否则无法判定极值的凹凸性；
但如果
f
′
′
(
x
)
f''(x)
f′′(x)变号,则必须存在某个点
x
0
x_0
x0使得
f
′
′
(
x
0
)
=
0
f''(x_0)=0
f′′(x0)=0,否则变号无法发生；
这与极值点的二阶导数非零(保证极值的充分性)矛盾。
因此,可导函数的极值点不可能是拐点。