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人工智能直通车系列02【Python 基础与数学基础】（控制流线性代数：向量基本概念）

article 2025/3/6 16:25:49

向量基本概念

场景示例

向量基本概念

定义：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量）是具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。在计算机科学尤其是机器学习等领域，向量常被用于表示数据的特征等信息。
表示方法
- 几何表示：在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，向量可以用有向线段来表示。例如在二维平面中，从点 $A(x_1,y_1)$ 到点 $B(x_2,y_2)$ 的向量 $\overrightarrow{AB}$ ，其大小为 $\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$ ，方向是从 $A$ 指向 $B$ 。
- 坐标表示：在 $n$ 维空间中，向量可以用坐标形式表示为 $\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$ ，其中 $v_i(i = 1,2,\cdots,n)$ 是向量在第 $i$ 个坐标轴上的分量。比如在三维空间中，向量 $\vec{a}=(1,2,3)$ 。
基本运算
- 加法：两个向量 $\vec{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ 和 $\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$ 相加，结果是 $\vec{u}+\vec{v}=(u_1 + v_1,u_2 + v_2,\cdots,u_n + v_n)$ 。几何上，向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
- 减法：向量 $\vec{u}$ 减去向量 $\vec{v}$ ，即 $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})=(u_1 - v_1,u_2 - v_2,\cdots,u_n - v_n)$ 。
- 数乘：一个向量 $\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$ 与一个标量 $k$ 相乘，结果是 $k\vec{v}=(kv_1,kv_2,\cdots,kv_n)$ 。数乘会改变向量的大小，当 $k>0$ 时，方向不变；当 $k<0$ 时，方向相反。
- 点积：也称为内积，对于两个向量 $\vec{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ 和 $\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$ ，它们的点积 $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1 + u_2v_2+\cdots+u_nv_n$ ，结果是一个标量。点积可以用来计算向量的夹角余弦值等。

场景示例

计算机图形学：在二维或三维图形绘制中，向量被广泛用于表示物体的位置、方向和位移等。例如，一个三维物体上的每个顶点都可以用一个三维向量来表示其在空间中的位置。通过对这些顶点向量进行平移、旋转等操作（本质上是对向量进行加法、数乘等运算），可以实现物体的移动、旋转等动画效果。
机器学习：在数据特征提取和处理中，向量是一种基本的数据结构。比如在文本分类任务中，将一篇文档表示为一个词向量，向量的每个维度代表一个特定的词是否在文档中出现以及出现的频率等信息。通过对这些词向量进行计算和分析，如计算向量之间的相似度（常用余弦相似度，基于向量点积计算），可以对文档进行分类、聚类等操作。
物理力学：力是一个典型的向量，它既有大小又有方向。当多个力作用于一个物体时，需要通过向量加法来计算合力。例如，一个物体同时受到水平方向的力 $\vec{F_1}=(10,0)$ （单位：牛顿）和与水平方向成 $30^{\circ}$ 角大小为 $20$ 牛顿的力 $\vec{F_2}$ ，将 $\vec{F_2}$ 分解为水平和垂直方向的分力后，可表示为 $\vec{F_2}=(20\cos30^{\circ},20\sin30^{\circ})$ ，那么合力 $\vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}$ ，通过向量加法计算出合力的大小和方向，进而分析物体的运动状态等。