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数一考研复习之拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用,

article 2025/3/8 21:10:19

最近在复习考研数学,只是简单做题过于乏味,因此便总结了一些笔记,后续若有空,也会将自己的复习笔记分享出来。本篇，我们将重点讲解拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用。同时,作者本人作为python领域创作者，还将在本文分享使用sympy求解高数中函数极限的方法,自此,日后的学习中除了desmos绘制图像外,我们又多了一个来验算我们求解极限结果是否正确的工具了。

高数极限考点

函数极限求解技巧

拉格朗日中值定理回顾

拉格朗日中值定理拓展到求解函数极限

常见误区

例题

极限考点

就一元函数极限来说,其在数一中常见的考点如下:

其中,无论是数列还是函数,极限值的求解往往是每年必出的题目。

函数极限求解技巧

函数极限性质
重要极限
等价无穷小
洛必达法则
拉格朗日中值定理
泰勒公式

这里要说明的是，在求解极限时，根据自变量的取值,我们可以将其分为：自变量趋于无穷大的极限,自变量趋于0的极限以及自变量趋于有限值x0的极限这三类。但是，实际上这三类在数一函数极限考察的范围内，最后统统都可以转换为自变量趋于0的极限。

$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{t\to0} f(\frac{1}{t})$

$\lim_{x\to\ x_{0}}f(x-x_{0})=\lim_{t\to0}f(t),t=x-x_0$

这是因为函数极限的求解中只有当自变量x趋于0时，泰勒公式才可以使用。而泰勒公式又是上边六种方法中的重点考察对象。毫不夸张地说，整个高数上册的极限都是围绕它所展开,实际上，数一中的函数极限题目，只要你愿意，没有什么是泰勒展开一下解决不了的。

拉格朗日中值定理回顾

拉格朗日中值定理:

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续,在开区间 $(a,b)$ 内可导,则至少存在一点 $\varepsilon\in (a,b)$

使 $f(b)-f(a)={f}'(\varepsilon )(b-a)$ .

说明

拉格朗日中值定理的几何意义实际上就是若连续曲线 $y=f(x)$ ，在点 $A(a,f(a))$ , $B(b,f(b))$ 之间的每一点处都有不垂直于x轴的切线(函数在开区间 $(a,b)$ 内可导),则曲线在A,B之间至少存在一点 $P(\epsilon ,f(\epsilon ))$ 使得该点处的切线与割线AB平行,即二者斜率相等。

拉格朗日中值定理拓展到求解函数极限

设三函数 $f(x)$ $,g(x),h(x)$ 都满足拉格朗日中值定理成立条件,那么：

$\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))-f(h(x))=\lim_{x\rightarrow x_0}{f}'(\epsilon )(g(x)-h(x))$

其中, $\epsilon$ 介于 $\lim_{\rightarrow x_0}h(x)$ 与 $\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)$ 之间。

注意,若 $\lim_{x\rightarrow x0}{f}'(\epsilon )=C$ ，C为任意不为0常数，那么直接将其替换为C即可，若我们将 $\epsilon$ 看作x后 $\lim_{x\rightarrow x_0}f'(\varepsilon)=0$ ，C为任意常数,那么 ${f}'(\epsilon )$ 可以看做关于x的函数,接着使用等价无穷小或泰勒公式展开来计算其结果。

以上便是拉格朗日定理求解函数极限的精髓。这里要注意的是，拉格朗日中值定理主要用来化简极限，并不能直接求解极限。

常见误区

在使用拉格朗日中值定理'化简'极限时，有三个坑要避开,主要集中在:

原极限形式上不满足能够使用拉格朗日中值定理的样式。
$\lim_{x\rightarrow x0}{f}'(\epsilon )$ 极限结果未定。
g(x)与h(x)不能为同一个函数的简单线性变换,比如g(x)=2x,h(x)=x。

例题

例子是最好的学习工具，接下来我将分享四道题目来阐明这一定理的常见误区,并给出每一步的详细结果。最后，我们还将使用python中的sympy库来求解上述四道极限题目来验证我们求解结果正确与否。

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(\sin(x)) -\cos(x)}{x^{4}}$ （ $\lim_{x\rightarrow x_0}f'(\varepsilon)=0$ 的情形,需要继续等价无穷小或泰勒公式求解）

解：原式= $\lim_{x\rightarrow0}\frac{(x-\sin(x))\sin(\epsilon)}{x^{4}}$ ，其中 $x-\sin(x)\sim\frac{1}{6}x^{3}$

原式= $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{6}\frac{\sin(\varepsilon )}{x}$

考虑到 $\lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon$ 介于 $\lim_{x\rightarrow 0}x$ 与 $\lim_{x\rightarrow 0}\sin(x)$ 之间，即 $\lim_{x\rightarrow 0}\sin(\varepsilon)=0$

原式= $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{6}*1=\frac{1}{6}$

sympy验证:

import sympy as sp
'''
sp.limit()函数参数详解:
e:极限表达式,使用定义过的变量和sp.函数名来书写
z:极限自变量
z0:极限自变量趋于的值
dir:左极限还是右极限,用'+','-'表示
'''
#定义x与y这两个符号变量
x=sp.Symbol('x')
y=sp.Symbol('y')
#极限表达式
expression=(sp.cos(sp.sin(x))-(sp.cos(x)))/(x**4)
print(f'原式极限={sp.limit(e=expression,z=x,z0=0)}')#使用sp.limit求解

结果:

2. $\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-e^{2-2\cos(x)}}{x^4}$ ( $\lim_{x\rightarrow x_0}f'(\varepsilon)=C$ 的情形)

原式= $\lim_{x\to0}\frac{x^2-(2-2\cos(x))}{x^4}e^{\varepsilon }$

原式= $\lim_{x\to0}\frac{x^2+2\cos(x)-2}{x^4}f'(\varepsilon )$

原式= $\lim_{x\to0}\frac{x^2+2(1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+O(x^4))-2}{x^4}e^{\varepsilon }$

原式= $\lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{12}x^4+O(x^4)}{x^4}e^{\varepsilon }$

考虑到 $\lim_{x\to0}\varepsilon$ 介于 $\lim_{x\to0}x^2$ 与 $\lim_{x\to0}2-2\cos(x)$ 之间,即 $\lim_{x\to0}\varepsilon=0$

原式= $\lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{12}x^4+O(x^4)}{x^4}*\lim_{\varepsilon\to0}e^{\varepsilon}$

原式= $\lim_{x\to0}\frac{1}{12}*1$

原式= $\frac{1}{12}$

sympy验证

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
sp.init_printing()#latex格式,分数输出后更好看一些
expressions=(sp.exp(x**2)-sp.exp(2-2*sp.cos(x)))/x**4
result=sp.limit(expressions,x,0)
result

结果：