【统计至简】【入门测试1】给定数据矩阵X，如何求其质心、中心化数据、标准化数据、格拉姆矩阵、协方差矩阵、相关系数矩阵

 给定数据矩阵X，如何求其质心、中心化数据、标准化数据、格拉姆矩阵、协方差矩阵、相关系数矩阵。
  设数据矩阵$X$是一个$n\times p$的矩阵，其中$n$是样本数量，$p$是变量数量，$X=(x_{ij})$，$i=1,2,\cdots ,n$，$j=1,2,\cdots ,p$。

1. 质心$\bar{X}$

  质心是数据矩阵$X$每一列的均值所构成的向量。对于第$j$列，其均值${\bar{x}}_j=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}$，$j=1,2,\cdots ,p$。所以质心向量$\bar{X}=({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,\cdots ,{\bar{x}}_p)$。

2. 中心化数据$X_c$

  中心化是将数据矩阵X的每一个样本点减去其质心。中心化后的数据矩阵$X_c$的元素$x_{ij}^c=x_{ij}-{\bar{x}}_j$，$i=1,2,\cdots ,n$，$j=1,2,\cdots ,p$。

3. 标准化数据$X_s$

• 首先计算每一列的标准差$s_j=\sqrt{\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(x_{ij}-{\bar{x}}_j{)}^2}$，$j=1,2,\cdots ,p$。
• 标准化后的数据矩阵$X_s$的元素$x_{ij}^s=\frac{x_{ij}-{\bar{x}}_j}{s_j}$，$i=1,2,\cdots ,n$，$j=1,2,\cdots ,p$。
  （减均值、除方差）

4.格拉姆矩阵$G$

  格拉姆矩阵$G$的元素$g_{ij}=X^{T}X$，即$g_{ij}={\sum }_{k=1}^n{x}_{ki}{x}_{kj}$，$i=1,2,\cdots ,p$，$j=1,2,\cdots ,p$。
（每一个元素，都是$X$中两个向量的内积）

5.协方差矩阵 $C$

• 协方差矩阵C可以通过中心化后的数据矩阵$X_c$来计算，$C=\frac{1}{n-1}{X}_c^T{X}_c$。
• 其元素$c_{ij}=\frac{1}{n-1}{\sum }_{k=1}^n(x_{ki}-{\bar{x}}_i)(x_{kj}-{\bar{x}}_j)$，$i=1,2,\cdots ,p$，$j=1,2,\cdots ,p$。

6.相关系数矩阵$R$

• 可以由标准化后的数据矩阵$X_s$来计算相关系数矩阵R，$R=\frac{1}{n-1}{X}_s^T{X}_s$。

• 也可以根据协方差矩阵C计算，$r_{ij}=\frac{c_{ij}}{\sqrt{c_{ii}{c}_{jj}}}$，$i=1,2,\cdots ,p$，$j=1,2,\cdots ,p$，其中$r_{ij}$是相关系数矩阵R的元素

python实现

import numpy as np

def calculate_statistics(X):
    # 质心
    centroid=np.mean(X,axis=0)
    # 中心化数据X_c
    X_centered=X-centroid
    # 标准化数据X_s
    std_dev=np.std(X,axis=0,ddof=1)
    # 格拉姆矩阵G
    gram_matrix=np.dot(X.T,X)
    # 协方差矩阵C
    cov_matrix=np.cov(X,rowvar=False)
    # 相关系数矩阵R
    corr_matrix=np.corrcoef(X,rowvar=False)

    return centroid, X_centered, std_dev, gram_matrix, cov_matrix, corr_matrix

# Test the function
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
centroid, X_centered, std_dev, gram_matrix, cov_matrix, corr_matrix = calculate_statistics(X)

print("Centroid:", centroid)
print("Centered data:", X_centered)
print("Standard deviation:", std_dev)
print("Gram matrix:", gram_matrix)
print("Covariance matrix:", cov_matrix)
print("Correlation matrix:", corr_matrix)

Centroid: [4. 5. 6.]
Centered data: [[-3. -3. -3.]
 [ 0.  0.  0.]
 [ 3.  3.  3.]]
Standard deviation: [3. 3. 3.]
Gram matrix: [[ 66  78  90]
 [ 78  93 108]
 [ 90 108 126]]
Covariance matrix: [[9. 9. 9.]
 [9. 9. 9.]
 [9. 9. 9.]]
Correlation matrix: [[1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]