深度学习基础：线性代数的本质1——深入理解向量

目录

一、向量是什么

1. 从物理学角度

2. 从计算机专业角度

3. 从数学角度

4. 思考向量的特点方式

① 向量是空间中的箭头

② 向量是有序的数字列表

二、向量加法和向量相乘

1. 向量加法

2. 向量相乘

一、向量是什么

线性代数中最基础，最根源的组成部分。

一般来说有三种看待向量的观点，看似不同却有所关联，分别为在物理学，数学，计算机上的观点。

1. 从物理学角度

• 向量是空间中的箭头
• 决定一个向量的是：它的长度和它所指的方向
• 向量可以在空间中如何位置落脚（起点），但是在线性代数中向量（通常以坐标系中的原点为起点）

2. 从计算机专业角度

• 向量是有序的数字列表
• 向量不过是“列表”一个花哨的说法
• 向量的维度等于“列表”的长度

3. 从数学角度

从数学来说，它的本质就是通用和抽象，所以，数学家希望概括这两种观点

• 向量可以是任何东西，只需要保证：两个向量相加及数字与向量相乘是有意义的即可
• 向量加法和向量乘法贯穿线性代数始终，十分重要

4. 思考向量的特点方式

① 向量是空间中的箭头

从几何方面思考向量，当遇到向量时，首先考虑一个箭头以及落在某个坐标系中，比如x-y平面，并且箭头起点为原点，这里和物理学角度的不同，向量可以在空间中如何位置落脚（起点），但是在线性代数中向量（通常以坐标系中的原点为起点）

② 向量是有序的数字列表

可以通过向量坐标来理解，一对向量坐标由一对数构成，这对数指导你如何从原点（向量起点）触发到达它的尖端（向量终点）

• 第一个数告诉你沿着x轴走多远，正数代表向右移动，负数代表向左移动

• 第二数告诉你在次之后沿着平行y轴的方向多远，正数代表向上移动，负数代表向下移动

 为了把向量和点区分开，通常把向量竖着写，然后用方括号括起来

每个向量与一个有序三元数组对应 

二、向量加法和向量相乘

线性代数围绕两种基本运算：向量加法与向量数乘

1. 向量加法

平移向量使向量首尾相连，则向量相加的结果是第一个向量的起点到最后一个向量的终点。

理解：把每个向量看作一种特定的运动，及在空间中朝着某个方向迈出一定的，先按v的运动方式运动，然后按照w的运动方式运动，总体运动效果与沿着这两个向量的和运动无异。

2. 向量相乘

向量的数乘运算就是对向量进行缩放，等于将向量中的各个元素（分量）分别进行缩放。实际上自始至终，数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量。