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复变函数摘记1

复变函数摘记1

  • 1. 基本概念
    • 1.1 复数、复变函数
    • 1.2 复变函数的极限、连续性
    • 1.3 复变函数的导数、微分
    • 1.4 解析函数、柯西-黎曼方程
  • 2. 复变函数的积分
    • 2.1 复变函数的曲线积分
    • 2.2 柯西-古萨基本定理、复合闭路定理
    • 2.3 复变函数的不定积分
    • 2.4 柯西积分公式、高阶导数

\quad 本文摘自西安交通大学主编的《复变函数》。

1. 基本概念

\quad 复变函数是自变量为复数的函数,与一元实函数类似,可以定义映射、反函数等概念,也可以定义复变函数的极限,并通过极限来定义复变函数的连续性导数微分,从而引出解析函数的概念,解析函数是复变函数的主要对象。
\quad

1.1 复数、复变函数

∙ \bullet\quad 复数
\quad 复数 z = x + i y z=x+\text{i}y z=x+iy 定义在以横轴 x x x 为实轴、纵轴 y y y 为虚轴的复平面上。
\quad 由欧拉公式 e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ e^{\text{i}\theta}=\cos\theta+\text{i}\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ,可将复数 z = x + i y z=x+\text{i}y z=x+iy 写成 z = r e i θ = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) z=re^{\text{i}\theta}=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta) z=reiθ=r(cosθ+isinθ)
\quad 其中,复数的 r = ∣ z ∣ = x 2 + y 2 r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} r=z=x2+y2 幅角的主值 θ = arctan ⁡ y x ∈ ( − π , π ] \theta=\arctan\frac{y}{x}\in(-\pi,\pi] θ=arctanxy(π,π]
\quad 复数 z = x + i y z=x+\text{i}y z=x+iy实部表示为 Re ( z ) \text{Re}(z) Re(z)虚部表示为 Im ( z ) \text{Im}(z) Im(z)共轭复数表示为 z ˉ = x − i y \bar{z}=x-\text{i}y zˉ=xiy
\qquad 在这里插入图片描述

∙ \bullet\quad 复变函数
定义 设 G G G 是一个复数 z = x + i y z=x+\text{i}y z=x+iy 的集合,如果有一个确定的对应法则,使得 ∀   z ∈ G \forall\ z\in G  zG,都有一个几个复数 w = u + i v w=u+\text{i}v w=u+iv 与之对应,就称复变数 w w w复变数 z z z 的函数(简称复变函数),记作 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)
    其中,集合 G G G 称为 f ( z ) f(z) f(z)定义集合,集合 G ∗ = { w   ∣   w = f ( z ) ,   ∀   z ∈ G } G^\ast=\{w\ |\ w=f(z),\ \forall\ z\in G\} G={w  w=f(z),  zG} 称为函数值集合

\quad 复变函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 可以表示为:
z = x + i y ⟶ f w = u + i v ⟹ {   u = u ( x , y )   v = v ( x , y ) \qquad z=x+\text{i}y\textcolor{crimson}{\stackrel{f}{\longrightarrow}}w=u+\text{i}v\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}\ u=u(x,y) \\ \ v=v(x,y)\end{cases} z=x+iyfw=u+iv{ u=u(x,y) v=v(x,y)

▶ \blacktriangleright  如果 z z z 的一个值对应着 w w w 的一个值,称函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)单值的
▶ \blacktriangleright  如果 z z z 的一个值对应着 w w w 的两个或两个以上的值,称函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)多值的

复变函数的对应法则可能是“一对多”,与一元实函数的对应法则“定义域中每个 x x x 都有唯一的 f ( x ) f(x) f(x) 与之对应”不一样

. w = z 2    ⟹    u + i v = ( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 x y i   ⟹    { u = x 2 − y 2 v = 2 x y w=z^2\ \ \textcolor{red}{\Longrightarrow}\ \ u+\text{i}v=(x+\text{i}y)^2=x^2-y^2+2xy\text{i}\ \ \textcolor{red}{\Longrightarrow}\ \ \begin{cases}u=x^2-y^2 \\ v=2xy\end{cases} w=z2    u+iv=(x+iy)2=x2y2+2xyi    {u=x2y2v=2xy

∙ \bullet\quad 复变函数的反函数
定义 假定函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)定义集合 z z z 平面上的集合 G G G函数值集合 w w w 平面上的集合 G ∗ G^* G,那么 ∀   w ∈ G ∗ \forall\ w\in G^*  wG,必定对应了集合 G G G 中的一个(或多个)点。按照复变函数的定义,在集合 G ∗ G^* G 上确定了一个单值(或多值)函数 z = φ ( w ) z=\varphi(w) z=φ(w),称为函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)反函数

\quad 显然, ∀   w ∈ G ∗ \forall\ w\in G^*  wG,有 w = f [ φ ( w ) ] w=f[\varphi(w)] w=f[φ(w)]。当反函数为单值函数时,有 z = φ [ f ( z ) ] z=\varphi[f(z)] z=φ[f(z)]
\quad

1.2 复变函数的极限、连续性

∙ \bullet\quad 复变函数的极限
定义 设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 定义在 z 0 z_0 z0 的去心邻域 0 < ∣ z − z 0 ∣ < ρ 0<|z-z_0|<\rho 0<zz0<ρ 内,如果 ∃   A ∈ R \exists\ A\in R  AR ∀   ε > 0 \forall\ \varepsilon>0  ε>0,都有正数 δ ( ε ) ∈ ( 0 , ρ ] \delta(\varepsilon)\in(0,\rho] δ(ε)(0,ρ],使得当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<zz0<δ 时,有 ∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z)-A|<\varepsilon f(z)A<ε,那么称 A A A 为复变函数 f ( z ) f(z) f(z) z → z 0 z\to z_0 zz0 时的极限,记作 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A

\quad 类似于多元实函数的极限定义(由于复平面是二维的),自变量的变化过程 z → z 0 z\to z_0 zz0 的方式必须是任意的

∙ \bullet\quad 复变函数极限的计算
定理 设 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) A = u 0 + i v 0 A=u_0+\text{i}v_0 A=u0+iv0 z 0 = x 0 + i y 0 z_0=x_0+\text{i}y_0 z0=x0+iy0,那么 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=A zz0limf(z)=A充分必要条件是, lim ⁡ x → x 0 y → y 0 u ( x , y ) = u 0 \displaystyle\lim_{x\to x_0\atop y\to y_0}u(x,y)=u_0 yy0xx0limu(x,y)=u0 lim ⁡ x → x 0 y → y 0 v ( x , y ) = v 0 \displaystyle\lim_{x\to x_0\atop y\to y_0}v(x,y)=v_0 yy0xx0limv(x,y)=v0

定理 假设 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A ,   lim ⁡ z → z 0 g ( z ) = B \displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=A,\ \displaystyle\lim_{z\to z_0}g(z)=B zz0limf(z)=A, zz0limg(z)=B,那么有
     ( 1 )   lim ⁡ z → z 0 [ f ( z ) ± g ( z ) ] = A ± B \qquad\ \ \ \ (1)\ \displaystyle\lim_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=A\pm B     (1) zz0lim[f(z)±g(z)]=A±B
     ( 2 )   lim ⁡ z → z 0 f ( z ) g ( z ) = A B \qquad\ \ \ \ (2)\ \displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)g(z)=AB     (2) zz0limf(z)g(z)=AB
     ( 3 )   lim ⁡ z → z 0 f ( z ) g ( z ) = A B ( B ≠ 0 ) \qquad\ \ \ \ (3)\ \displaystyle\lim_{z\to z_0}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{A}{B}\quad(B\neq0)     (3) zz0limg(z)f(z)=BA(B=0)


∙ \bullet\quad 复变函数的连续性
定义 如果 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) zz0limf(z)=f(z0),那么复变函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0连续
    如果 f ( z ) f(z) f(z)区域 D D D 内处处连续,就说 f ( z ) f(z) f(z)区域 D D D连续

区域是连通的开集 —— 开集 D D D 内的任意两点,都可以用一条完全属于 D D D 的折线连接起来。

定理 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) z 0 = x 0 + i y 0 z_0=x_0+\text{i}y_0 z0=x0+iy0 处连续的充要条件是其实部、虚部同时连续,即 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y) 都在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处连续。

定理 在 z 0 z_0 z0 处连续的两个复变函数 f ( z ) f(z) f(z) g ( z ) g(z) g(z)(分母不为零时)在 z 0 z_0 z0 处仍然连续。
    如果 h = g ( z ) h=g(z) h=g(z) z 0 z_0 z0 处连续, w = f ( h ) w=f(h) w=f(h) h 0 = g ( z 0 ) h_0=g(z_0) h0=g(z0) 处连续,那么复合函数 w = f [ g ( z ) ] w=f[g(z)] w=f[g(z)] z 0 z_0 z0 处连续。
 
▶ \blacktriangleright  函数 f ( z ) f(z) f(z) 在曲线 C C C 上的点 z 0 z_0 z0 处连续 ⟺ lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) ,   z ∈ C \quad\textcolor{red}{\Longleftrightarrow}\quad\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0),\ z\in C zz0limf(z)=f(z0), zC
▶ \blacktriangleright  在闭曲线包括曲线端点在内的曲线段连续的函数 f ( z ) f(z) f(z) 在曲线上是有界的,即 ∃   M > 0 \exist\ M>0  M>0,使得 ∣ f ( z ) ∣ ≤ M |f(z)|\le M f(z)M
 
. 有理整函数(多项式) w = P ( z ) = a 0 + a 1 z + ⋯ + a n z n w=P(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n w=P(z)=a0+a1z++anzn 对复平面内所有的 z z z 都是连续的。
  有理分式函数 P ( z ) Q ( z ) \frac{P(z)}{Q(z)} Q(z)P(z) 在复平面内使不含分母为零的点也是连续的。

\quad

1.3 复变函数的导数、微分

∙ \bullet\quad 复变函数的导数
定义 设 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 定义于区域 D D D,且 z 0 , z 0 + Δ z ∈ D z_0,z_0+\Delta{z}\in D z0,z0+ΔzD,如果 lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \displaystyle\lim_{\Delta{z}\to0}\textstyle\frac{f(z_0+\Delta{z})-f(z_0)}{\Delta{z}} Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0) 存在,那么就说 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0可导,这个极限值称为 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0 处的导数,记作

f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim ⁡ Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \qquad\qquad f^\prime(z_0)=\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\Big|_{z=z_0}=\displaystyle\lim_{\Delta{z}\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta{z})-f(z_0)}{\Delta{z}} f(z0)=dzdw z=z0=Δz0limΔzf(z0+Δz)f(z0)

定义中自变量的变化过程 z 0 + Δ z → z 0 z_0+\Delta{z}\to z_0 z0+Δzz0 的方式任意的(与多元实函数的极限定义类似)

▶ \blacktriangleright  如果 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内处处可导,就说 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D可导

▶ \blacktriangleright  求导法则也基本上与一元实函数类似:
   ( 1 )    ( c ) ′ = 0 \quad\ \ (1)\ \ (c)^\prime=0   (1)  (c)=0,其中 c c c复常数
   ( 2 )    ( z n ) ′ = n z n − 1 \quad\ \ (2)\ \ (z^n)^\prime=nz^{n-1}   (2)  (zn)=nzn1,其中 n n n正整数
   ( 3 )    [ f ( z ) ± g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) \quad\ \ (3)\ \ [f(z)\pm g(z)]^\prime=f^\prime(z)\pm g^\prime(z)   (3)  [f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)
   ( 4 )    [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) \quad\ \ (4)\ \ [f(z)g(z)]^\prime=f^\prime(z)g(z)+f(z)g^\prime(z)   (4)  [f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)
   ( 5 )    [ f ( z ) g ( z ) ] ′ = f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g 2 ( z ) \quad\ \ (5)\ \ \left[\dfrac{f(z)}{g(z)}\right]^\prime=\dfrac{f^\prime(z)g(z)-f(z)g^\prime(z)}{g^2(z)}   (5)  [g(z)f(z)]=g2(z)f(z)g(z)f(z)g(z),其中 g ( z ) ≠ 0 g(z)\neq0 g(z)=0
   ( 6 )    { f [ g ( z ) ] } ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) \quad\ \ (6)\ \ \{f[g(z)]\}^\prime=f^\prime(w)g^\prime(z)   (6)  {f[g(z)]}=f(w)g(z),其中 w = g ( z ) w=g(z) w=g(z)
   ( 7 )    f ′ ( z ) = 1 φ ′ ( w ) \quad\ \ (7)\ \ f^\prime(z)=\dfrac{1}{\varphi^\prime(w)}   (7)  f(z)=φ(w)1,其中 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) z = φ ( w ) z=\varphi(w) z=φ(w) 是两个互为反函数的单值函数,且 φ ′ ( w ) ≠ 0 \varphi^\prime(w)\neq0 φ(w)=0

定理 复变函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0可导 ⟹ f ( z ) \quad\textcolor{red}{\Longrightarrow}\quad f(z) f(z) z 0 z_0 z0连续
 
∙ \bullet\quad 复变函数的微分
定义 设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) z 0 z_0 z0 处可导,如果 Δ w = f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) = f ′ ( z 0 ) Δ z + ρ ( Δ z ) Δ z \Delta{w}=f(z_0+\Delta{z})-f(z_0)=\textcolor{crimson}{f^\prime(z_0)\Delta{z}}+\rho(\Delta{z})\Delta{z} Δw=f(z0+Δz)f(z0)=f(z0)Δz+ρ(Δz)Δz,其中 lim ⁡ z → z 0 ρ ( Δ z ) = 0 \displaystyle\lim_{z\to z_0}\rho(\Delta{z})=0 zz0limρ(Δz)=0,将 d w = f ′ ( z 0 ) Δ z \mathrm{d}w=\textcolor{crimson}{f^\prime(z_0)\Delta{z}} dw=f(z0)Δz 称为 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0 处的微分
    如果 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内处处可微,就说 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D可微

定理 复变函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0可导 ⟺ f ( z ) \quad\textcolor{red}{\Longleftrightarrow}\quad f(z) f(z) z 0 z_0 z0可微

\quad

1.4 解析函数、柯西-黎曼方程

★ \textcolor{red}{\bigstar}\quad 解析函数
\quad 在复变函数理论中,重要的不是只在个别点可导的函数,而是解析函数。
定义 如果函数 f ( z ) f(z) f(z) z 0 z_0 z0 z 0 z_0 z0 的邻域处处可导,那么称 f ( z ) f(z) f(z) 在点 z 0 z_0 z0解析
    如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内每一点解析,那么称 f ( z ) f(z) f(z) D D D 内的一个解析函数
    如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 在点 z 0 z_0 z0不解析,那么称点 z 0 z_0 z0 f ( z ) f(z) f(z)奇点

函数一点可导不一定在该点处解析(函数在 z 0 z_0 z0 解析,必须是在 z 0 z_0 z0 z 0 z_0 z0 的邻域处处可导

▶ \blacktriangleright  函数 f ( z ) f(z) f(z) 区域解析 ⟺ f ( z ) \quad\textcolor{red}{\Longleftrightarrow}\quad f(z) f(z) 区域可导

定理 在区域 D D D 内解析的两个函数 f ( z ) f(z) f(z) g ( z ) g(z) g(z)(除去分母为零的点)在 D D D 内解析。
    设函数 h = g ( z ) h=g(z) h=g(z) z z z 平面上的区域 D D D 内解析,函数 w = f ( h ) w=f(h) w=f(h) h h h 平面上的区域 G G G 内解析。如果 ∀   z ∈ D \forall\ z\in D  zD,都有 h = g ( z ) ∈ G h=g(z)\in G h=g(z)G,那么复合函数 w = f [ g ( z ) ] w=f[g(z)] w=f[g(z)] D D D 内解析。
 
. 函数 w = 1 z w=\dfrac{1}{z} w=z1 在复平面内除点 z = 0 z=0 z=0 外处处可导,且 d w d z = − 1 z 2 \dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=-\dfrac{1}{z^2} dzdw=z21,因此函数 w = 1 z w=\dfrac{1}{z} w=z1 在除 z = 0 z=0 z=0 外的复平面内处处解析, z = 0 z=0 z=0 是其奇点

\quad  有理分式函数 P ( z ) Q ( z ) \frac{P(z)}{Q(z)} Q(z)P(z) 在不含分母为零的点的区域内解析函数,使分母为零的点为奇点


★ \textcolor{red}{\bigstar}\quad 函数解析的充要条件柯西-黎曼方程

定理 设函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 D D D 内,那么 f ( z ) f(z) f(z) z = x + i y ∈ D z=x+\text{i}y\in D z=x+iyD 可导充要条件是,实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y) 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)可微,且满足柯西-黎曼方程
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}},\qquad \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}} xu=yv,yu=xv

定理 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域 D D D解析充要条件是,实函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y) D D D可微,且满足柯西-黎曼方程
 
. 如果函数 f ′ ( z ) f^\prime(z) f(z) 在区域 D D D 处处为零,那么 f ( z ) f(z) f(z) D D D 内是一个常数。

f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − i ∂ u ∂ y = 0   ⟹   ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y = ∂ u ∂ y = 0 f^\prime(z)=\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}+\text{i}\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}-\text{i}\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=0\ \textcolor{red}{\Longrightarrow}\ \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}=\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=0 f(z)=xu+ixv=yviyu=0  xu=xv=yv=yu=0

因此 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) v ( x , y ) v(x,y) v(x,y) 都是常数, f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) D D D 内是常数

\quad

2. 复变函数的积分

\quad 复变函数的积分,实际上是复平面上的曲线积分,与多元实函数的曲线积分区别比较大。

2.1 复变函数的曲线积分

∙ \bullet\quad 复变函数的曲线积分
定义 设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 定义在区域 D D D 内, C C C 为区域 D D D 内起点为 A A A 终点为 B B B 的一条光滑的有向曲线 A B ⌢ \mathop{AB} \limits^{\frown} AB(沿曲线正方向移动,曲线内部始终在曲线左侧)。把曲线弧 A B ⌢ \mathop{AB} \limits^{\frown} AB 任意分成 n n n 个弧段(分点为 z k z_k zk, k = 1 , 2 , ⋯ k=1,2,\cdots k=1,2,),在每个弧段 z k − 1 z k ⌢ \overset{\frown}{z_{k-1}z_k} zk1zk 上任取一点 ζ k \zeta_k ζk,记 Δ z k = z k − z k − 1 \Delta{z_k}=z_k-z_{k-1} Δzk=zkzk1,则复变函数的曲线积分定义为

∫ C f ( z ) d z = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n f ( ζ k ) Δ z k \qquad\qquad\displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta{z_k} Cf(z)dz=nlimk=1nf(ζk)Δzk

与多元实函数的第一类曲线积分相比,曲线积分的定义式都一样,差别在于 f ( ξ k ) Δ z k f(\xi_k)\Delta{z_k} f(ξk)Δzk 的计算方式
形式上,复变函数的曲线积分可看作 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=\textcolor{crimson}{u(x,y)+\text{i}v(x,y)} f(z)=u(x,y)+iv(x,y) d z = d x + i d y \mathrm{d}z=\textcolor{crimson}{\mathrm{d}x+\text{i}\mathrm{d}y} dz=dx+idy 相乘后求积分

∫ C f ( z ) d z = ∫ C u d x − v d y + i ∫ C v d x + u d y \qquad\qquad\displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}=\int_C{u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y}+\text{i}\int_C{v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y} Cf(z)dz=Cudxvdy+iCvdx+udy
 
∙ \bullet\quad 曲线积分的计算方法
\quad 设复变函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y),将有向曲线 C C C 表示为参数方程: z = z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) z=z(t)=x(t)+\text{i}y(t) z=z(t)=x(t)+iy(t) α ≤ t ≤ β \alpha\le t\le\beta αtβ,那么

∫ C f ( z ) d z = ∫ α β { u [ x ( t ) , y ( t ) ] x ′ ( t ) − v [ x ( t ) , y ( t ) ] y ′ ( t ) } d t + i ∫ α β { v [ x ( t ) , y ( t ) ] x ′ ( t ) + u [ x ( t ) , y ( t ) ] y ′ ( t ) } d t \qquad\qquad\begin{aligned}\int_C{f(z)\mathrm{d}z}&=\int_\alpha^\beta\{u[x(t),y(t)]x^\prime(t)-v[x(t),y(t)]y^\prime(t)\}\mathrm{d}t\\&+\text{i}\int_\alpha^\beta\{v[x(t),y(t)]x^\prime(t)+u[x(t),y(t)]y^\prime(t)\}\mathrm{d}t\end{aligned} Cf(z)dz=αβ{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt+iαβ{v[x(t),y(t)]x(t)+u[x(t),y(t)]y(t)}dt
\quad
∫ C f ( z ) d z = ∫ α β f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t \qquad\qquad\displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}=\int_\alpha^\beta f[z(t)]z^\prime(t)\mathrm{d}t Cf(z)dz=αβf[z(t)]z(t)dt
 
∙ \bullet\quad 积分的性质
( 1 )   ∫ C f ( z ) d z = − ∫ C − f ( z ) d z (1)\ \displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}=-\displaystyle\int_{C^{-}}{f(z)\mathrm{d}z} (1) Cf(z)dz=Cf(z)dz

( 2 )   ∫ C k f ( z ) d z = k ∫ C f ( z ) d z (2)\ \displaystyle\int_C{kf(z)\mathrm{d}z}=k\displaystyle\int_{C}{f(z)\mathrm{d}z} (2) Ckf(z)dz=kCf(z)dz k k k 为常数

( 3 )   ∫ C [ f ( z ) ± g ( z ) ] d z = ∫ C f ( z ) d z ± ∫ C g ( z ) d z (3)\ \displaystyle\int_C{[f(z)\pm g(z)]\mathrm{d}z}=\displaystyle\int_{C}{f(z)\mathrm{d} z}\pm\displaystyle\int_{C}{g(z)\mathrm{d}z} (3) C[f(z)±g(z)]dz=Cf(z)dz±Cg(z)dz

( 4 ) (4) (4) 设曲线 C C C 的长度为 L L L,函数 f ( z ) f(z) f(z) C C C 上满足 ∣ f ( z ) ∣ ≤ M |f(z)|\le M f(z)M,那么 ∣ ∫ C f ( z ) d z ∣ ≤ ∫ C ∣ f ( z ) ∣ d z ≤ M L \left\vert\displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}\right\vert\le\displaystyle\int_C{\left\vert f(z)\right\vert\mathrm{d}z}\le ML Cf(z)dz Cf(z)dzML

\quad  
. 计算积分 ∫ 0 3 + i z 2 d z \displaystyle\int_0^{3+i}{z^2\mathrm{d}z} 03+iz2dz,积分路径为从原点到 3 + i 3+i 3+i 的直线段。
从原点到 3 + i 3+i 3+i 的直线段写成参数方程: { x = 3 t y = t   , 0 ≤ t ≤ 1 \begin{cases}x=3t\\y=t\end{cases}\ ,0\le t\le 1 {x=3ty=t ,0t1
z = 3 t + i t ,   0 ≤ t ≤ 1 z=3t+it,\ 0\le t\le1 z=3t+it, 0t1,在该直线段上, d z = ( 3 + i ) d t \mathrm{d}z=(3+i)\mathrm{d}t dz=(3+i)dt
∫ 0 3 + i z 2 d z = ∫ 0 1 ( 3 t + i t ) 2 ( 3 + i ) d t = ∫ 0 1 ( 3 + i ) 3 t 2 d t = ( 3 + i ) 3 3 \displaystyle\int_0^{3+i}{z^2\mathrm{d}z}=\int_0^1(3t+it)^2(3+i)\mathrm{d}t=\int_0^1(3+i)^3t^2\mathrm{d}t=\dfrac{(3+i)^3}{3} 03+iz2dz=01(3t+it)2(3+i)dt=01(3+i)3t2dt=3(3+i)3


. 计算 ∮ C d z ( z − z 0 ) n + 1 \displaystyle\oint_C\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^{n+1}} C(zz0)n+1dz,其中 C C C 是以 z 0 z_0 z0 为中心、 r r r 为半径的正向圆周。
:圆周 C C C 的参数方程为: z = z 0 + r e i θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π z=z_0+re^{\text{i}\theta},\quad0\le\theta\le2\pi z=z0+reiθ,0θ2π,且 d z = i r e i θ d θ \mathrm{d}z=\text{i}re^{\text{i}\theta}\mathrm{d}\theta dz=ireiθdθ
∮ C d z ( z − z 0 ) n + 1 = ∫ 0 2 π i r e i θ d θ ( r e i θ ) n + 1 = ∫ 0 2 π i r n e i n θ d θ = i r n ∫ 0 2 π e − i n θ d θ \begin{aligned}\oint_C\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^{n+1}}=\int_0^{2\pi}\dfrac{\text{i}re^{\text{i}\theta}\mathrm{d}\theta}{(re^{\text{i}\theta})^{n+1}}=\int_0^{2\pi}\dfrac{\text{i}}{r^ne^{\text{i}n\theta}}\mathrm{d}\theta=\dfrac{\text{i}}{r^n}\int_0^{2\pi}e^{-\text{i}n\theta}\mathrm{d}\theta \end{aligned} C(zz0)n+1dz=02π(reiθ)n+1ireiθdθ=02πrneinθidθ=rni02πeinθdθ
⟹ ∮ C d z ( z − z 0 ) n + 1 = { 2 π i , n = 0 0 , n ≠ 0 \Longrightarrow\quad\displaystyle\oint_C\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases}2\pi\text{i} &,n=0 \\0&,n\neq0 \end{cases} C(zz0)n+1dz={2πi0,n=0,n=0
或者说, ∮ ∣ z − z 0 ∣ = r 1 z − z 0 d z = 2 π i \textcolor{crimson}{\displaystyle\oint_{|z-z_0|=r}\dfrac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=2\pi\text{i}} zz0=rzz01dz=2πi
\quad

2.2 柯西-古萨基本定理、复合闭路定理

★ \textcolor{red}{\bigstar}\quad 柯西-古萨基本定理
定理 如果函数 f ( z ) f(z) f(z)单连通域 B B B处处解析,那么 f ( z ) f(z) f(z) 沿 B B B 内的任何一条封闭曲线 C C C 的积分为零,即 ∮ C f ( z ) d z = 0 \displaystyle\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0 Cf(z)dz=0

没有重复点(不会交叉)的连续曲线 C C C,称为简单曲线
如果区域 B B B 中任意作一条简单闭合曲线,曲线的内部总属于区域 B B B,那么称 B B B单连通域

▶ \blacktriangleright  如果曲线 C C C 是区域 B B B 的边界,且函数 f ( z ) f(z) f(z) 在闭区域 B ˉ = B + C \bar{B}=B+C Bˉ=B+C 上解析, ∮ C f ( z ) d z = 0 \displaystyle\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0 Cf(z)dz=0 仍然成立。
▶ \blacktriangleright  如果曲线 C C C 是区域 B B B 的边界,且函数 f ( z ) f(z) f(z) B B B 内解析、在闭区域 B ˉ \bar{B} Bˉ 上连续, ∮ C f ( z ) d z = 0 \displaystyle\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0 Cf(z)dz=0 仍然成立。
 
★ \textcolor{red}{\bigstar}\quad 复合闭路定理
\quad 作为柯西-古萨基本定理的推广,复合闭路定理单连通域扩展为多连通域

定理 设 C C C多连通域 D D D 内的一条简单闭曲线, C 1 , C 2 , ⋯   , C n C_1,C_2,\cdots,C_n C1,C2,,Cn 是闭曲线 C C C 内部的简单闭曲线,它们互不包含、也互不相交,并且以 C 1 , C 2 , ⋯   , C n C_1,C_2,\cdots,C_n C1,C2,,Cn 为边界的区域都包含在 D D D 中(如下图左, C , C 1 − , C 2 − , C 3 − C,C_1^-,C_2^-,C_3^- C,C1,C2,C3 构成多连通域)。如果 f ( z ) f(z) f(z)多连通域 D D D解析,那么
( 1 ) ∮ C f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z (1)\displaystyle\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^n\oint_{C_k}f(z)\mathrm{d}z (1)Cf(z)dz=k=1nCkf(z)dz,其中 C , C 1 , C 2 , ⋯   , C n C,C_1,C_2,\cdots,C_n C,C1,C2,,Cn 都取正方向
( 2 ) ∮ Γ f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z (2)\displaystyle\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^n\oint_{C_k}f(z)\mathrm{d}z (2)Γf(z)dz=k=1nCkf(z)dz,其中 Γ \Gamma Γ 是由 C , C 1 , C 2 , ⋯   , C n C,C_1,C_2,\cdots,C_n C,C1,C2,,Cn 组成的复合闭路

\qquad 在这里插入图片描述

. 计算 ∮ Γ 2 z − 1 z 2 − z d z \displaystyle\oint_\Gamma\dfrac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z Γz2z2z1dz,其中 Γ \Gamma Γ 是包含圆周 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 z=1 的任何正向简单闭曲线。
:显然 f ( z ) = 2 z − 1 z 2 − z f(z)=\dfrac{2z-1}{z^2-z} f(z)=z2z2z1 在复平面上除了奇点 z = 0 z=0 z=0 z = 1 z=1 z=1 之外处处解析(如上图右)
由于 Γ \Gamma Γ 包含圆周 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 z=1,这两个奇点都在 Γ \Gamma Γ所围的单连通域中。
z = 0 z=0 z=0 为圆心作正向圆周 C 1 C_1 C1,以 z = 1 z=1 z=1 为圆心作正向圆周 C 2 C_2 C2,那么 Γ \Gamma Γ C 1 − , C 2 − C_1^-, C_2^- C1,C2 形成复连通域,且 f ( z ) f(z) f(z) 在此复连通域中处处解析,因此可以应用复合闭路定理

∮ Γ 2 z − 1 z 2 − z d z = ∮ C 1 2 z − 1 z 2 − z d z + ∮ C 2 2 z − 1 z 2 − z d z = ∮ C 1 1 z − 1 d z + ∮ C 1 1 z d z + ∮ C 2 1 z − 1 d z + ∮ C 2 1 z d z = 0 + 2 π i + 2 π i + 0 = 4 π i \begin{aligned}\oint_\Gamma\dfrac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z&=\oint_{C_1}\dfrac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z+\oint_{C_2}\dfrac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z \\ &=\oint_{C_1}\dfrac{1}{z-1}\mathrm{d}z+\oint_{C_1}\dfrac{1}{z}\mathrm{d}z+\oint_{C_2}\dfrac{1}{z-1}\mathrm{d}z+\oint_{C_2}\dfrac{1}{z}\mathrm{d}z \\ &=0+2\pi\text{i}+2\pi\text{i}+0 \\ &= 4\pi\text{i}\end{aligned} Γz2z2z1dz=C1z2z2z1dz+C2z2z2z1dz=C1z11dz+C1z1dz+C2z11dz+C2z1dz=0+2πi+2πi+0=4πi
此处,由柯西-古萨基本定理可得 ∮ C 1 1 z − 1 d z = 0 \displaystyle\oint_{C_1}\frac{1}{z-1}\mathrm{d}z=0 C1z11dz=0 ∮ C 2 1 z d z = 0 \oint_{C_2}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=0 C2z1dz=0
   由例5可得 ∮ C 1 1 z d z = ∮ C 2 1 z − 1 d z = 2 π i \displaystyle\oint_{C_1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\oint_{C_2}\frac{1}{z-1}\mathrm{d}z=2\pi\text{i} C1z1dz=C2z11dz=2πi
\quad

2.3 复变函数的不定积分

∙ \bullet\quad 复变函数的不定积分
定理 如果 f ( z ) f(z) f(z)单连通域 B B B 内处处解析,那么 ∫ C f ( z ) d z \displaystyle\int_Cf(z)\mathrm{d}z Cf(z)dz 与连接起点和终点的路线 C C C 无关

\qquad 在这里插入图片描述

上图中, ∫ C 1 f ( z ) d z = ∫ C 2 f ( z ) d z = ∫ z 0 z 1 f ( z ) d z \displaystyle\int_{C_1}f(z)\mathrm{d}z=\displaystyle\int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z=\displaystyle\int_{z_0}^{z_1}f(z)\mathrm{d}z C1f(z)dz=C2f(z)dz=z0z1f(z)dz

定理 如果 f ( z ) f(z) f(z)单连通域 B B B 内处处解析,那么函数 F ( z ) F(z) F(z) 必为 B B B 内的一个解析函数,且 F ′ ( z ) = f ( z ) F^\prime(z)=f(z) F(z)=f(z)

上图中固定 z 0 z_0 z0,让 z 1 z_1 z1 B B B 内变动,令 z 1 = z z_1=z z1=z,则 ∫ z 0 z f ( z ) d z \displaystyle\int_{z_0}^{z}f(z)\mathrm{d}z z0zf(z)dz B B B 内确定了一个单值函数 F ( z ) = ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ F(z)=\displaystyle\int_{z_0}^{z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta F(z)=z0zf(ζ)dζ

定义 如果在区域 B B B 内有 F ′ ( z ) = f ( z ) F^\prime(z)=f(z) F(z)=f(z),那么 F ( z ) F(z) F(z) f ( z ) f(z) f(z) 在区域 B B B 内的一个原函数。
    因此,复变函数 f ( z ) f(z) f(z)不定积分定义为 ∫ f ( z ) d z = F ( z ) + C \displaystyle\int f(z)\mathrm{d}z=F(z)+C f(z)dz=F(z)+C

▶ \blacktriangleright  类似于一元实函数的积分上限函数,可知 F ( z ) = ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ F(z)=\displaystyle\int_{z_0}^{z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta F(z)=z0zf(ζ)dζ f ( z ) f(z) f(z) 的一个原函数。

定理 如果 f ( z ) f(z) f(z)单连通域 B B B 内处处解析,那么 F ( z ) F(z) F(z) f ( z ) f(z) f(z) B B B 内的一个原函数,那么
    ∫ z 0 z 1 f ( z ) d z = F ( z 1 ) − F ( z 0 ) \textcolor{crimson}{\displaystyle\int_{z_0}^{z_1}f(z)\mathrm{d}z=F(z_1)-F(z_0)} z0z1f(z)dz=F(z1)F(z0)
 
. 求积分 ∫ 0 i z cos ⁡ z d z \displaystyle\int_{0}^{\text{i}}z\cos z\mathrm{d}z 0izcoszdz 的值。
函数 z cos ⁡ z z\cos z zcosz 在整个复平面内解析,且有 ( z sin ⁡ z + cos ⁡ z ) ′ = z cos ⁡ z (z\sin z+\cos z)^\prime=z\cos z (zsinz+cosz)=zcosz
∫ 0 i z cos ⁡ z d z = [ z sin ⁡ z + cos ⁡ z ] ∣ 0 i = i sin ⁡ i + cos ⁡ i − 1 = e − 1 − 1 \displaystyle\int_{0}^{\text{i}}z\cos z\mathrm{d}z=[z\sin z+\cos z]\big|_0^{\text{i}}=\text{i}\sin \text{i}+\cos\text{i}-1=e^{-1}-1 0izcoszdz=[zsinz+cosz] 0i=isini+cosi1=e11
\quad

2.4 柯西积分公式、高阶导数

★ \textcolor{red}{\bigstar}\quad 柯西积分公式
\quad B B B 为单连通域, z 0 ∈ B z_0\in B z0B,如果 f ( z ) f(z) f(z) B B B 内解析,那么函数 f ( z ) z − z 0 \frac{f(z)}{z-z_0} zz0f(z) z 0 z_0 z0 不解析,所以在 B B B 内沿围绕 z 0 z_0 z0 的一条闭曲线 C C C 的积分 ∮ C f ( z ) z − z 0 d z \oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z Czz0f(z)dz 一般不为零,且积分值沿任何一条围绕 z 0 z_0 z0 的简单闭曲线都是相同的

定理 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内处处解析, C C C D D D 内的任何一条正向简单曲线,且 C C C 的内部完全包含于区域 D D D 中, z 0 z_0 z0 C C C 内任一点,那么
    f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z \textcolor{crimson}{f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi\text{i}}\displaystyle\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z} f(z0)=2πi1Czz0f(z)dz 或  ∮ C f ( z ) z − z 0 d z = 2 π i f ( z 0 ) \displaystyle\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z=2\pi\text{i}f(z_0) Czz0f(z)dz=2πif(z0)

柯西积分公式,把 f ( z ) f(z) f(z) C C C 内部任一点的函数值它在边界上的值来表示
或者说,只要 f ( z ) f(z) f(z) 在区域边界上的值确定了,那么 f ( z ) f(z) f(z) 在区域内部任一点处的函数值也就确定了

▶ \blacktriangleright  如果 C C C 是圆周 z = z 0 + R e i θ z=z_0+Re^{\text{i}\theta} z=z0+Reiθ,那么柯西积分公式就变成 f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{\text{i}\theta})\mathrm{d}\theta f(z0)=2π102πf(z0+Reiθ)dθ

d z = i R e i θ d θ \mathrm{d}z=\text{i}Re^{\text{i}\theta}\mathrm{d}\theta dz=iReiθdθ,可得 f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z = 1 2 π i ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) R e i θ i R e i θ d θ = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ f(z_0)=\frac{1}{2\pi\text{i}}\displaystyle\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+Re^{\text{i}\theta})}{Re^{\text{i}\theta}}\text{i}Re^{\text{i}\theta}\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{\text{i}\theta})\mathrm{d}\theta f(z0)=2πi1Czz0f(z)dz=2πi102πReiθf(z0+Reiθ)iReiθdθ=2π102πf(z0+Reiθ)dθ

. 求积分 ∮ C ( 1 z + 1 + 2 z − 3 ) d z \displaystyle\oint_C\left(\dfrac{1}{z+1}+\dfrac{2}{z-3}\right)\mathrm{d}z C(z+11+z32)dz 的值,其中 C C C 为正向圆周 ∣ z ∣ = 4 |z|=4 z=4

∮ C ( 1 z + 1 + 2 z − 3 ) d z = ∮ C 1 z + 1 d z + ∮ C 2 z − 3 d z = 2 π i ⋅ 1 + 2 π i ⋅ 2 = 6 π i \displaystyle\oint_C\left(\frac{1}{z+1}+\frac{2}{z-3}\right)\mathrm{d}z=\oint_C\frac{1}{z+1}\mathrm{d}z+\oint_C\frac{2}{z-3}\mathrm{d}z=2\pi\text{i}\cdot1+2\pi\text{i}\cdot2=6\pi\text{i} C(z+11+z32)dz=Cz+11dz+Cz32dz=2πi1+2πi2=6πi


★ \textcolor{red}{\bigstar}\quad 高阶导数
\quad 一个解析函数不仅有一阶导数,还有高阶导数,高阶导数的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示。

定理 解析函数 f ( z ) f(z) f(z) 的导数仍然是解析函数,它的 n n n 阶导数为
    f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z ,   n = 1 , 2 , ⋯ \textcolor{crimson}{f^{(n)}(z_0)=\dfrac{n!}{2\pi\text{i}}\displaystyle\oint_C\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z},\ n=1,2,\cdots f(n)(z0)=2πin!C(zz0)n+1f(z)dz, n=1,2,
    其中, C C C 为在 f ( z ) f(z) f(z) 的解析区域 D D D围绕 z 0 z_0 z0 的任何一条正向简单闭曲线,且它的内部全含于 D D D
 
. 求积分 ∮ C cos ⁡ π z ( z − 1 ) 5 d z \displaystyle\oint_C\dfrac{\cos\pi z}{(z-1)^5}\mathrm{d}z C(z1)5cosπzdz 的值,其中 C C C 为正向圆周 ∣ z ∣ = r > 1 |z|=r>1 z=r>1

函数 cos ⁡ π z ( z − 1 ) 5 \dfrac{\cos\pi z}{(z-1)^5} (z1)5cosπz C C C z = 1 z=1 z=1 处不解析,但是函数 cos ⁡ π z \cos\pi z cosπz C C C 内处处解析
由高阶导数公式可得 ∮ C cos ⁡ π z ( z − 1 ) 5 d z = 2 π i ( 5 − 1 ) ! ( cos ⁡ π z ) ( 4 ) ∣ z = 1 = − π 5 i 12 \displaystyle\oint_C\frac{\cos\pi z}{(z-1)^5}\mathrm{d}z=\frac{2\pi\text{i}}{(5-1)!}(\cos\pi z)^{(4)}\big|_{z=1}=-\frac{\pi^5\text{i}}{12} C(z1)5cosπzdz=(51)!2πi(cosπz)(4) z=1=12π5i


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