复变函数摘记1
复变函数摘记1
- 1. 基本概念
- 1.1 复数、复变函数
- 1.2 复变函数的极限、连续性
- 1.3 复变函数的导数、微分
- 1.4 解析函数、柯西-黎曼方程
- 2. 复变函数的积分
- 2.1 复变函数的曲线积分
- 2.2 柯西-古萨基本定理、复合闭路定理
- 2.3 复变函数的不定积分
- 2.4 柯西积分公式、高阶导数
\quad 本文摘自西安交通大学主编的《复变函数》。
1. 基本概念
\quad
复变函数是自变量为复数的函数,与一元实函数类似,可以定义映射、反函数等概念,也可以定义复变函数的极限,并通过极限来定义复变函数的连续性、导数和微分,从而引出解析函数的概念,解析函数是复变函数的主要对象。
\quad
1.1 复数、复变函数
∙
\bullet\quad
∙复数
\quad
复数
z
=
x
+
i
y
z=x+\text{i}y
z=x+iy 定义在以横轴
x
x
x 为实轴、纵轴
y
y
y 为虚轴的复平面上。
\quad
由欧拉公式
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e^{\text{i}\theta}=\cos\theta+\text{i}\sin\theta
eiθ=cosθ+isinθ,可将复数
z
=
x
+
i
y
z=x+\text{i}y
z=x+iy 写成
z
=
r
e
i
θ
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
z=re^{\text{i}\theta}=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)
z=reiθ=r(cosθ+isinθ)。
\quad
其中,复数的模
r
=
∣
z
∣
=
x
2
+
y
2
r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}
r=∣z∣=x2+y2,幅角的主值
θ
=
arctan
y
x
∈
(
−
π
,
π
]
\theta=\arctan\frac{y}{x}\in(-\pi,\pi]
θ=arctanxy∈(−π,π]。
\quad
复数
z
=
x
+
i
y
z=x+\text{i}y
z=x+iy 的实部表示为
Re
(
z
)
\text{Re}(z)
Re(z)、虚部表示为
Im
(
z
)
\text{Im}(z)
Im(z),共轭复数表示为
z
ˉ
=
x
−
i
y
\bar{z}=x-\text{i}y
zˉ=x−iy。
\qquad
∙
\bullet\quad
∙复变函数
定义
设
G
G
G 是一个复数
z
=
x
+
i
y
z=x+\text{i}y
z=x+iy 的集合,如果有一个确定的对应法则,使得
∀
z
∈
G
\forall\ z\in G
∀ z∈G,都有一个或几个复数
w
=
u
+
i
v
w=u+\text{i}v
w=u+iv 与之对应,就称复变数
w
w
w 是复变数
z
z
z 的函数(简称复变函数),记作
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z)。
其中,集合
G
G
G 称为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的定义集合,集合
G
∗
=
{
w
∣
w
=
f
(
z
)
,
∀
z
∈
G
}
G^\ast=\{w\ |\ w=f(z),\ \forall\ z\in G\}
G∗={w ∣ w=f(z), ∀ z∈G} 称为函数值集合。
\quad
复变函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 可以表示为:
z
=
x
+
i
y
⟶
f
w
=
u
+
i
v
⟹
{
u
=
u
(
x
,
y
)
v
=
v
(
x
,
y
)
\qquad z=x+\text{i}y\textcolor{crimson}{\stackrel{f}{\longrightarrow}}w=u+\text{i}v\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}\ u=u(x,y) \\ \ v=v(x,y)\end{cases}
z=x+iy⟶fw=u+iv⟹{ u=u(x,y) v=v(x,y)
▶
\blacktriangleright
▶ 如果
z
z
z 的一个值对应着
w
w
w 的一个值,称函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 是单值的。
▶
\blacktriangleright
▶ 如果
z
z
z 的一个值对应着
w
w
w 的两个或两个以上的值,称函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 是多值的。
复变函数的对应法则可能是“一对多”,与一元实函数的对应法则“定义域中每个 x x x 都有唯一的 f ( x ) f(x) f(x) 与之对应”不一样
例. w = z 2 ⟹ u + i v = ( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 x y i ⟹ { u = x 2 − y 2 v = 2 x y w=z^2\ \ \textcolor{red}{\Longrightarrow}\ \ u+\text{i}v=(x+\text{i}y)^2=x^2-y^2+2xy\text{i}\ \ \textcolor{red}{\Longrightarrow}\ \ \begin{cases}u=x^2-y^2 \\ v=2xy\end{cases} w=z2 ⟹ u+iv=(x+iy)2=x2−y2+2xyi ⟹ {u=x2−y2v=2xy
∙
\bullet\quad
∙复变函数的反函数
定义
假定函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 的定义集合为
z
z
z 平面上的集合
G
G
G, 函数值集合为
w
w
w 平面上的集合
G
∗
G^*
G∗,那么
∀
w
∈
G
∗
\forall\ w\in G^*
∀ w∈G∗,必定对应了集合
G
G
G 中的一个(或多个)点。按照复变函数的定义,在集合
G
∗
G^*
G∗ 上确定了一个单值(或多值)函数
z
=
φ
(
w
)
z=\varphi(w)
z=φ(w),称为函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 的反函数。
\quad
显然,
∀
w
∈
G
∗
\forall\ w\in G^*
∀ w∈G∗,有
w
=
f
[
φ
(
w
)
]
w=f[\varphi(w)]
w=f[φ(w)]。当反函数为单值函数时,有
z
=
φ
[
f
(
z
)
]
z=\varphi[f(z)]
z=φ[f(z)]。
\quad
1.2 复变函数的极限、连续性
∙
\bullet\quad
∙复变函数的极限
定义
设函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 定义在
z
0
z_0
z0 的去心邻域
0
<
∣
z
−
z
0
∣
<
ρ
0<|z-z_0|<\rho
0<∣z−z0∣<ρ 内,如果
∃
A
∈
R
\exists\ A\in R
∃ A∈R ,
∀
ε
>
0
\forall\ \varepsilon>0
∀ ε>0,都有正数
δ
(
ε
)
∈
(
0
,
ρ
]
\delta(\varepsilon)\in(0,\rho]
δ(ε)∈(0,ρ],使得当
0
<
∣
z
−
z
0
∣
<
δ
0<|z-z_0|<\delta
0<∣z−z0∣<δ 时,有
∣
f
(
z
)
−
A
∣
<
ε
|f(z)-A|<\varepsilon
∣f(z)−A∣<ε,那么称
A
A
A 为复变函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 当
z
→
z
0
z\to z_0
z→z0 时的极限,记作
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
A
\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=A
z→z0limf(z)=A。
\quad 类似于多元实函数的极限定义(由于复平面是二维的),自变量的变化过程 z → z 0 z\to z_0 z→z0 的方式必须是任意的。
∙
\bullet\quad
∙复变函数极限的计算
定理
设
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y),
A
=
u
0
+
i
v
0
A=u_0+\text{i}v_0
A=u0+iv0,
z
0
=
x
0
+
i
y
0
z_0=x_0+\text{i}y_0
z0=x0+iy0,那么
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
A
\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=A
z→z0limf(z)=A 的充分必要条件是,
lim
x
→
x
0
y
→
y
0
u
(
x
,
y
)
=
u
0
\displaystyle\lim_{x\to x_0\atop y\to y_0}u(x,y)=u_0
y→y0x→x0limu(x,y)=u0,
lim
x
→
x
0
y
→
y
0
v
(
x
,
y
)
=
v
0
\displaystyle\lim_{x\to x_0\atop y\to y_0}v(x,y)=v_0
y→y0x→x0limv(x,y)=v0。
定理
假设
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
A
,
lim
z
→
z
0
g
(
z
)
=
B
\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=A,\ \displaystyle\lim_{z\to z_0}g(z)=B
z→z0limf(z)=A, z→z0limg(z)=B,那么有
(
1
)
lim
z
→
z
0
[
f
(
z
)
±
g
(
z
)
]
=
A
±
B
\qquad\ \ \ \ (1)\ \displaystyle\lim_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=A\pm B
(1) z→z0lim[f(z)±g(z)]=A±B
(
2
)
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
g
(
z
)
=
A
B
\qquad\ \ \ \ (2)\ \displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)g(z)=AB
(2) z→z0limf(z)g(z)=AB
(
3
)
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
g
(
z
)
=
A
B
(
B
≠
0
)
\qquad\ \ \ \ (3)\ \displaystyle\lim_{z\to z_0}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{A}{B}\quad(B\neq0)
(3) z→z0limg(z)f(z)=BA(B=0)
∙
\bullet\quad
∙复变函数的连续性
定义
如果
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
f
(
z
0
)
\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)
z→z0limf(z)=f(z0),那么复变函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
0
z_0
z0 处连续。
如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在区域
D
D
D 内处处连续,就说
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在区域
D
D
D 内连续。
区域是连通的开集 —— 开集 D D D 内的任意两点,都可以用一条完全属于 D D D 的折线连接起来。
定理
函数
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在
z
0
=
x
0
+
i
y
0
z_0=x_0+\text{i}y_0
z0=x0+iy0 处连续的充要条件是其实部、虚部同时连续,即
u
(
x
,
y
)
u(x,y)
u(x,y) 和
v
(
x
,
y
)
v(x,y)
v(x,y) 都在
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0) 处连续。
定理
在
z
0
z_0
z0 处连续的两个复变函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 和
g
(
z
)
g(z)
g(z) 的和、差、积、商(分母不为零时)在
z
0
z_0
z0 处仍然连续。
如果
h
=
g
(
z
)
h=g(z)
h=g(z) 在
z
0
z_0
z0 处连续,
w
=
f
(
h
)
w=f(h)
w=f(h) 在
h
0
=
g
(
z
0
)
h_0=g(z_0)
h0=g(z0) 处连续,那么复合函数
w
=
f
[
g
(
z
)
]
w=f[g(z)]
w=f[g(z)] 在
z
0
z_0
z0 处连续。
▶
\blacktriangleright
▶ 函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在曲线
C
C
C 上的点
z
0
z_0
z0 处连续
⟺
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
=
f
(
z
0
)
,
z
∈
C
\quad\textcolor{red}{\Longleftrightarrow}\quad\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0),\ z\in C
⟺z→z0limf(z)=f(z0), z∈C
▶
\blacktriangleright
▶ 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在曲线上是有界的,即
∃
M
>
0
\exist\ M>0
∃ M>0,使得
∣
f
(
z
)
∣
≤
M
|f(z)|\le M
∣f(z)∣≤M。
例. 有理整函数(多项式)
w
=
P
(
z
)
=
a
0
+
a
1
z
+
⋯
+
a
n
z
n
w=P(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n
w=P(z)=a0+a1z+⋯+anzn 对复平面内所有的
z
z
z 都是连续的。
有理分式函数
P
(
z
)
Q
(
z
)
\frac{P(z)}{Q(z)}
Q(z)P(z) 在复平面内使不含分母为零的点也是连续的。
\quad
1.3 复变函数的导数、微分
∙
\bullet\quad
∙复变函数的导数
定义
设
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 定义于区域
D
D
D,且
z
0
,
z
0
+
Δ
z
∈
D
z_0,z_0+\Delta{z}\in D
z0,z0+Δz∈D,如果
lim
Δ
z
→
0
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
\displaystyle\lim_{\Delta{z}\to0}\textstyle\frac{f(z_0+\Delta{z})-f(z_0)}{\Delta{z}}
Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0) 存在,那么就说
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
0
z_0
z0 处可导,这个极限值称为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
0
z_0
z0 处的导数,记作
f ′ ( z 0 ) = d w d z ∣ z = z 0 = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \qquad\qquad f^\prime(z_0)=\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\Big|_{z=z_0}=\displaystyle\lim_{\Delta{z}\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta{z})-f(z_0)}{\Delta{z}} f′(z0)=dzdw z=z0=Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0)
定义中自变量的变化过程 z 0 + Δ z → z 0 z_0+\Delta{z}\to z_0 z0+Δz→z0 的方式是任意的(与多元实函数的极限定义类似)
▶ \blacktriangleright ▶ 如果 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内处处可导,就说 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内可导。
▶
\blacktriangleright
▶ 求导法则也基本上与一元实函数类似:
(
1
)
(
c
)
′
=
0
\quad\ \ (1)\ \ (c)^\prime=0
(1) (c)′=0,其中
c
c
c 为复常数
(
2
)
(
z
n
)
′
=
n
z
n
−
1
\quad\ \ (2)\ \ (z^n)^\prime=nz^{n-1}
(2) (zn)′=nzn−1,其中
n
n
n 为正整数
(
3
)
[
f
(
z
)
±
g
(
z
)
]
′
=
f
′
(
z
)
±
g
′
(
z
)
\quad\ \ (3)\ \ [f(z)\pm g(z)]^\prime=f^\prime(z)\pm g^\prime(z)
(3) [f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)
(
4
)
[
f
(
z
)
g
(
z
)
]
′
=
f
′
(
z
)
g
(
z
)
+
f
(
z
)
g
′
(
z
)
\quad\ \ (4)\ \ [f(z)g(z)]^\prime=f^\prime(z)g(z)+f(z)g^\prime(z)
(4) [f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)
(
5
)
[
f
(
z
)
g
(
z
)
]
′
=
f
′
(
z
)
g
(
z
)
−
f
(
z
)
g
′
(
z
)
g
2
(
z
)
\quad\ \ (5)\ \ \left[\dfrac{f(z)}{g(z)}\right]^\prime=\dfrac{f^\prime(z)g(z)-f(z)g^\prime(z)}{g^2(z)}
(5) [g(z)f(z)]′=g2(z)f′(z)g(z)−f(z)g′(z),其中
g
(
z
)
≠
0
g(z)\neq0
g(z)=0
(
6
)
{
f
[
g
(
z
)
]
}
′
=
f
′
(
w
)
g
′
(
z
)
\quad\ \ (6)\ \ \{f[g(z)]\}^\prime=f^\prime(w)g^\prime(z)
(6) {f[g(z)]}′=f′(w)g′(z),其中
w
=
g
(
z
)
w=g(z)
w=g(z)
(
7
)
f
′
(
z
)
=
1
φ
′
(
w
)
\quad\ \ (7)\ \ f^\prime(z)=\dfrac{1}{\varphi^\prime(w)}
(7) f′(z)=φ′(w)1,其中
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 与
z
=
φ
(
w
)
z=\varphi(w)
z=φ(w) 是两个互为反函数的单值函数,且
φ
′
(
w
)
≠
0
\varphi^\prime(w)\neq0
φ′(w)=0
定理
复变函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
0
z_0
z0 处可导
⟹
f
(
z
)
\quad\textcolor{red}{\Longrightarrow}\quad f(z)
⟹f(z) 在
z
0
z_0
z0 处连续。
∙
\bullet\quad
∙复变函数的微分
定义
设函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 在
z
0
z_0
z0 处可导,如果
Δ
w
=
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
=
f
′
(
z
0
)
Δ
z
+
ρ
(
Δ
z
)
Δ
z
\Delta{w}=f(z_0+\Delta{z})-f(z_0)=\textcolor{crimson}{f^\prime(z_0)\Delta{z}}+\rho(\Delta{z})\Delta{z}
Δw=f(z0+Δz)−f(z0)=f′(z0)Δz+ρ(Δz)Δz,其中
lim
z
→
z
0
ρ
(
Δ
z
)
=
0
\displaystyle\lim_{z\to z_0}\rho(\Delta{z})=0
z→z0limρ(Δz)=0,将
d
w
=
f
′
(
z
0
)
Δ
z
\mathrm{d}w=\textcolor{crimson}{f^\prime(z_0)\Delta{z}}
dw=f′(z0)Δz 称为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
0
z_0
z0 处的微分。
如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在区域
D
D
D 内处处可微,就说
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在区域
D
D
D 内可微。
定理
复变函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
0
z_0
z0 处可导
⟺
f
(
z
)
\quad\textcolor{red}{\Longleftrightarrow}\quad f(z)
⟺f(z) 在
z
0
z_0
z0 处可微。
\quad
1.4 解析函数、柯西-黎曼方程
★
\textcolor{red}{\bigstar}\quad
★解析函数
\quad
在复变函数理论中,重要的不是只在个别点可导的函数,而是解析函数。
定义
如果函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
z
0
z_0
z0 及
z
0
z_0
z0 的邻域内处处可导,那么称
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在点
z
0
z_0
z0 处解析。
如果函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在区域
D
D
D 内每一点解析,那么称
f
(
z
)
f(z)
f(z) 是
D
D
D 内的一个解析函数。
如果函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在点
z
0
z_0
z0 处不解析,那么称点
z
0
z_0
z0 为
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的奇点。
函数在一点处可导,不一定在该点处解析(函数在 z 0 z_0 z0 解析,必须是在 z 0 z_0 z0 及 z 0 z_0 z0 的邻域内处处可导)
▶ \blacktriangleright ▶ 函数 f ( z ) f(z) f(z) 在区域内解析 ⟺ f ( z ) \quad\textcolor{red}{\Longleftrightarrow}\quad f(z) ⟺f(z) 在区域内可导
定理
在区域
D
D
D 内解析的两个函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 和
g
(
z
)
g(z)
g(z) 的和、差、积、商(除去分母为零的点)在
D
D
D 内解析。
设函数
h
=
g
(
z
)
h=g(z)
h=g(z) 在
z
z
z 平面上的区域
D
D
D 内解析,函数
w
=
f
(
h
)
w=f(h)
w=f(h) 在
h
h
h 平面上的区域
G
G
G 内解析。如果
∀
z
∈
D
\forall\ z\in D
∀ z∈D,都有
h
=
g
(
z
)
∈
G
h=g(z)\in G
h=g(z)∈G,那么复合函数
w
=
f
[
g
(
z
)
]
w=f[g(z)]
w=f[g(z)] 在
D
D
D 内解析。
例. 函数
w
=
1
z
w=\dfrac{1}{z}
w=z1 在复平面内除点
z
=
0
z=0
z=0 外处处可导,且
d
w
d
z
=
−
1
z
2
\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=-\dfrac{1}{z^2}
dzdw=−z21,因此函数
w
=
1
z
w=\dfrac{1}{z}
w=z1 在除
z
=
0
z=0
z=0 外的复平面内处处解析,
z
=
0
z=0
z=0 是其奇点。
\quad 有理分式函数 P ( z ) Q ( z ) \frac{P(z)}{Q(z)} Q(z)P(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析函数,使分母为零的点为奇点。
★ \textcolor{red}{\bigstar}\quad ★函数解析的充要条件:柯西-黎曼方程
定理
设函数
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域
D
D
D 内,那么
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在点
z
=
x
+
i
y
∈
D
z=x+\text{i}y\in D
z=x+iy∈D 可导的充要条件是,实函数
u
(
x
,
y
)
u(x,y)
u(x,y) 和
v
(
x
,
y
)
v(x,y)
v(x,y) 在点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 处可微,且满足柯西-黎曼方程
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
,
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}},\qquad \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}
∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂v
定理
函数
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域
D
D
D 内解析的充要条件是,实函数
u
(
x
,
y
)
u(x,y)
u(x,y) 和
v
(
x
,
y
)
v(x,y)
v(x,y) 在
D
D
D 内可微,且满足柯西-黎曼方程。
例. 如果函数
f
′
(
z
)
f^\prime(z)
f′(z) 在区域
D
D
D 处处为零,那么
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
D
D
D 内是一个常数。
由 f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − i ∂ u ∂ y = 0 ⟹ ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y = ∂ u ∂ y = 0 f^\prime(z)=\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}+\text{i}\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}-\text{i}\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=0\ \textcolor{red}{\Longrightarrow}\ \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}=\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}=0 f′(z)=∂x∂u+i∂x∂v=∂y∂v−i∂y∂u=0 ⟹ ∂x∂u=∂x∂v=∂y∂v=∂y∂u=0
因此 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y) 和 v ( x , y ) v(x,y) v(x,y) 都是常数, f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 D D D 内是常数
\quad
2. 复变函数的积分
\quad 复变函数的积分,实际上是复平面上的曲线积分,与多元实函数的曲线积分区别比较大。
2.1 复变函数的曲线积分
∙
\bullet\quad
∙复变函数的曲线积分
定义
设函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z) 定义在区域
D
D
D 内,
C
C
C 为区域
D
D
D 内起点为
A
A
A 终点为
B
B
B 的一条光滑的有向曲线弧
A
B
⌢
\mathop{AB} \limits^{\frown}
AB⌢(沿曲线正方向移动,曲线内部始终在曲线左侧)。把曲线弧
A
B
⌢
\mathop{AB} \limits^{\frown}
AB⌢ 任意分成
n
n
n 个弧段(分点为
z
k
z_k
zk,
k
=
1
,
2
,
⋯
k=1,2,\cdots
k=1,2,⋯),在每个弧段
z
k
−
1
z
k
⌢
\overset{\frown}{z_{k-1}z_k}
zk−1zk⌢ 上任取一点
ζ
k
\zeta_k
ζk,记
Δ
z
k
=
z
k
−
z
k
−
1
\Delta{z_k}=z_k-z_{k-1}
Δzk=zk−zk−1,则复变函数的曲线积分定义为
∫ C f ( z ) d z = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( ζ k ) Δ z k \qquad\qquad\displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta{z_k} ∫Cf(z)dz=n→∞limk=1∑nf(ζk)Δzk
与多元实函数的第一类曲线积分相比,曲线积分的定义式都一样,差别在于 f ( ξ k ) Δ z k f(\xi_k)\Delta{z_k} f(ξk)Δzk 的计算方式
形式上,复变函数的曲线积分可看作 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=\textcolor{crimson}{u(x,y)+\text{i}v(x,y)} f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 与 d z = d x + i d y \mathrm{d}z=\textcolor{crimson}{\mathrm{d}x+\text{i}\mathrm{d}y} dz=dx+idy 相乘后求积分
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
C
u
d
x
−
v
d
y
+
i
∫
C
v
d
x
+
u
d
y
\qquad\qquad\displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}=\int_C{u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y}+\text{i}\int_C{v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y}
∫Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy
∙
\bullet\quad
∙曲线积分的计算方法
\quad
设复变函数
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y),将有向曲线
C
C
C 表示为参数方程:
z
=
z
(
t
)
=
x
(
t
)
+
i
y
(
t
)
z=z(t)=x(t)+\text{i}y(t)
z=z(t)=x(t)+iy(t),
α
≤
t
≤
β
\alpha\le t\le\beta
α≤t≤β,那么
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
α
β
{
u
[
x
(
t
)
,
y
(
t
)
]
x
′
(
t
)
−
v
[
x
(
t
)
,
y
(
t
)
]
y
′
(
t
)
}
d
t
+
i
∫
α
β
{
v
[
x
(
t
)
,
y
(
t
)
]
x
′
(
t
)
+
u
[
x
(
t
)
,
y
(
t
)
]
y
′
(
t
)
}
d
t
\qquad\qquad\begin{aligned}\int_C{f(z)\mathrm{d}z}&=\int_\alpha^\beta\{u[x(t),y(t)]x^\prime(t)-v[x(t),y(t)]y^\prime(t)\}\mathrm{d}t\\&+\text{i}\int_\alpha^\beta\{v[x(t),y(t)]x^\prime(t)+u[x(t),y(t)]y^\prime(t)\}\mathrm{d}t\end{aligned}
∫Cf(z)dz=∫αβ{u[x(t),y(t)]x′(t)−v[x(t),y(t)]y′(t)}dt+i∫αβ{v[x(t),y(t)]x′(t)+u[x(t),y(t)]y′(t)}dt
\quad
或
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
α
β
f
[
z
(
t
)
]
z
′
(
t
)
d
t
\qquad\qquad\displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}=\int_\alpha^\beta f[z(t)]z^\prime(t)\mathrm{d}t
∫Cf(z)dz=∫αβf[z(t)]z′(t)dt
∙
\bullet\quad
∙积分的性质
(
1
)
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
−
∫
C
−
f
(
z
)
d
z
(1)\ \displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}=-\displaystyle\int_{C^{-}}{f(z)\mathrm{d}z}
(1) ∫Cf(z)dz=−∫C−f(z)dz
( 2 ) ∫ C k f ( z ) d z = k ∫ C f ( z ) d z (2)\ \displaystyle\int_C{kf(z)\mathrm{d}z}=k\displaystyle\int_{C}{f(z)\mathrm{d}z} (2) ∫Ckf(z)dz=k∫Cf(z)dz, k k k 为常数
( 3 ) ∫ C [ f ( z ) ± g ( z ) ] d z = ∫ C f ( z ) d z ± ∫ C g ( z ) d z (3)\ \displaystyle\int_C{[f(z)\pm g(z)]\mathrm{d}z}=\displaystyle\int_{C}{f(z)\mathrm{d} z}\pm\displaystyle\int_{C}{g(z)\mathrm{d}z} (3) ∫C[f(z)±g(z)]dz=∫Cf(z)dz±∫Cg(z)dz
( 4 ) (4) (4) 设曲线 C C C 的长度为 L L L,函数 f ( z ) f(z) f(z) 在 C C C 上满足 ∣ f ( z ) ∣ ≤ M |f(z)|\le M ∣f(z)∣≤M,那么 ∣ ∫ C f ( z ) d z ∣ ≤ ∫ C ∣ f ( z ) ∣ d z ≤ M L \left\vert\displaystyle\int_C{f(z)\mathrm{d}z}\right\vert\le\displaystyle\int_C{\left\vert f(z)\right\vert\mathrm{d}z}\le ML ∫Cf(z)dz ≤∫C∣f(z)∣dz≤ML
\quad
例. 计算积分
∫
0
3
+
i
z
2
d
z
\displaystyle\int_0^{3+i}{z^2\mathrm{d}z}
∫03+iz2dz,积分路径为从原点到
3
+
i
3+i
3+i 的直线段。
从原点到
3
+
i
3+i
3+i 的直线段写成参数方程:
{
x
=
3
t
y
=
t
,
0
≤
t
≤
1
\begin{cases}x=3t\\y=t\end{cases}\ ,0\le t\le 1
{x=3ty=t ,0≤t≤1
即
z
=
3
t
+
i
t
,
0
≤
t
≤
1
z=3t+it,\ 0\le t\le1
z=3t+it, 0≤t≤1,在该直线段上,
d
z
=
(
3
+
i
)
d
t
\mathrm{d}z=(3+i)\mathrm{d}t
dz=(3+i)dt
∫
0
3
+
i
z
2
d
z
=
∫
0
1
(
3
t
+
i
t
)
2
(
3
+
i
)
d
t
=
∫
0
1
(
3
+
i
)
3
t
2
d
t
=
(
3
+
i
)
3
3
\displaystyle\int_0^{3+i}{z^2\mathrm{d}z}=\int_0^1(3t+it)^2(3+i)\mathrm{d}t=\int_0^1(3+i)^3t^2\mathrm{d}t=\dfrac{(3+i)^3}{3}
∫03+iz2dz=∫01(3t+it)2(3+i)dt=∫01(3+i)3t2dt=3(3+i)3
例. 计算
∮
C
d
z
(
z
−
z
0
)
n
+
1
\displaystyle\oint_C\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^{n+1}}
∮C(z−z0)n+1dz,其中
C
C
C 是以
z
0
z_0
z0 为中心、
r
r
r 为半径的正向圆周。
解:圆周
C
C
C 的参数方程为:
z
=
z
0
+
r
e
i
θ
,
0
≤
θ
≤
2
π
z=z_0+re^{\text{i}\theta},\quad0\le\theta\le2\pi
z=z0+reiθ,0≤θ≤2π,且
d
z
=
i
r
e
i
θ
d
θ
\mathrm{d}z=\text{i}re^{\text{i}\theta}\mathrm{d}\theta
dz=ireiθdθ
∮
C
d
z
(
z
−
z
0
)
n
+
1
=
∫
0
2
π
i
r
e
i
θ
d
θ
(
r
e
i
θ
)
n
+
1
=
∫
0
2
π
i
r
n
e
i
n
θ
d
θ
=
i
r
n
∫
0
2
π
e
−
i
n
θ
d
θ
\begin{aligned}\oint_C\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^{n+1}}=\int_0^{2\pi}\dfrac{\text{i}re^{\text{i}\theta}\mathrm{d}\theta}{(re^{\text{i}\theta})^{n+1}}=\int_0^{2\pi}\dfrac{\text{i}}{r^ne^{\text{i}n\theta}}\mathrm{d}\theta=\dfrac{\text{i}}{r^n}\int_0^{2\pi}e^{-\text{i}n\theta}\mathrm{d}\theta \end{aligned}
∮C(z−z0)n+1dz=∫02π(reiθ)n+1ireiθdθ=∫02πrneinθidθ=rni∫02πe−inθdθ
⟹
∮
C
d
z
(
z
−
z
0
)
n
+
1
=
{
2
π
i
,
n
=
0
0
,
n
≠
0
\Longrightarrow\quad\displaystyle\oint_C\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases}2\pi\text{i} &,n=0 \\0&,n\neq0 \end{cases}
⟹∮C(z−z0)n+1dz={2πi0,n=0,n=0
或者说,
∮
∣
z
−
z
0
∣
=
r
1
z
−
z
0
d
z
=
2
π
i
\textcolor{crimson}{\displaystyle\oint_{|z-z_0|=r}\dfrac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=2\pi\text{i}}
∮∣z−z0∣=rz−z01dz=2πi
\quad
2.2 柯西-古萨基本定理、复合闭路定理
★
\textcolor{red}{\bigstar}\quad
★柯西-古萨基本定理
定理
如果函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在单连通域
B
B
B 内处处解析,那么
f
(
z
)
f(z)
f(z) 沿
B
B
B 内的任何一条封闭曲线
C
C
C 的积分为零,即
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
0
\displaystyle\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0
∮Cf(z)dz=0。
没有重复点(不会交叉)的连续曲线 C C C,称为简单曲线。
如果区域 B B B 中任意作一条简单闭合曲线,曲线的内部总属于区域 B B B,那么称 B B B 为单连通域。
▶
\blacktriangleright
▶ 如果曲线
C
C
C 是区域
B
B
B 的边界,且函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在闭区域
B
ˉ
=
B
+
C
\bar{B}=B+C
Bˉ=B+C 上解析,
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
0
\displaystyle\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0
∮Cf(z)dz=0 仍然成立。
▶
\blacktriangleright
▶ 如果曲线
C
C
C 是区域
B
B
B 的边界,且函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
B
B
B 内解析、在闭区域
B
ˉ
\bar{B}
Bˉ 上连续,
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
0
\displaystyle\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=0
∮Cf(z)dz=0 仍然成立。
★
\textcolor{red}{\bigstar}\quad
★复合闭路定理
\quad
作为柯西-古萨基本定理的推广,复合闭路定理将单连通域扩展为多连通域。
定理
设
C
C
C 为多连通域
D
D
D 内的一条简单闭曲线,
C
1
,
C
2
,
⋯
,
C
n
C_1,C_2,\cdots,C_n
C1,C2,⋯,Cn 是闭曲线
C
C
C 内部的简单闭曲线,它们互不包含、也互不相交,并且以
C
1
,
C
2
,
⋯
,
C
n
C_1,C_2,\cdots,C_n
C1,C2,⋯,Cn 为边界的区域都包含在
D
D
D 中(如下图左,
C
,
C
1
−
,
C
2
−
,
C
3
−
C,C_1^-,C_2^-,C_3^-
C,C1−,C2−,C3− 构成多连通域)。如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在多连通域
D
D
D 内解析,那么
(
1
)
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∑
k
=
1
n
∮
C
k
f
(
z
)
d
z
(1)\displaystyle\oint_Cf(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^n\oint_{C_k}f(z)\mathrm{d}z
(1)∮Cf(z)dz=k=1∑n∮Ckf(z)dz,其中
C
,
C
1
,
C
2
,
⋯
,
C
n
C,C_1,C_2,\cdots,C_n
C,C1,C2,⋯,Cn 都取正方向
(
2
)
∮
Γ
f
(
z
)
d
z
=
∑
k
=
1
n
∮
C
k
f
(
z
)
d
z
(2)\displaystyle\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^n\oint_{C_k}f(z)\mathrm{d}z
(2)∮Γf(z)dz=k=1∑n∮Ckf(z)dz,其中
Γ
\Gamma
Γ 是由
C
,
C
1
,
C
2
,
⋯
,
C
n
C,C_1,C_2,\cdots,C_n
C,C1,C2,⋯,Cn 组成的复合闭路
\qquad
例. 计算
∮
Γ
2
z
−
1
z
2
−
z
d
z
\displaystyle\oint_\Gamma\dfrac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z
∮Γz2−z2z−1dz,其中
Γ
\Gamma
Γ 是包含圆周
∣
z
∣
=
1
|z|=1
∣z∣=1 的任何正向简单闭曲线。
解:显然
f
(
z
)
=
2
z
−
1
z
2
−
z
f(z)=\dfrac{2z-1}{z^2-z}
f(z)=z2−z2z−1 在复平面上除了奇点
z
=
0
z=0
z=0 和
z
=
1
z=1
z=1 之外处处解析(如上图右)
由于
Γ
\Gamma
Γ 包含圆周
∣
z
∣
=
1
|z|=1
∣z∣=1,这两个奇点都在
Γ
\Gamma
Γ所围的单连通域中。
以
z
=
0
z=0
z=0 为圆心作正向圆周
C
1
C_1
C1,以
z
=
1
z=1
z=1 为圆心作正向圆周
C
2
C_2
C2,那么
Γ
\Gamma
Γ 与
C
1
−
,
C
2
−
C_1^-, C_2^-
C1−,C2− 形成复连通域,且
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在此复连通域中处处解析,因此可以应用复合闭路定理:
∮
Γ
2
z
−
1
z
2
−
z
d
z
=
∮
C
1
2
z
−
1
z
2
−
z
d
z
+
∮
C
2
2
z
−
1
z
2
−
z
d
z
=
∮
C
1
1
z
−
1
d
z
+
∮
C
1
1
z
d
z
+
∮
C
2
1
z
−
1
d
z
+
∮
C
2
1
z
d
z
=
0
+
2
π
i
+
2
π
i
+
0
=
4
π
i
\begin{aligned}\oint_\Gamma\dfrac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z&=\oint_{C_1}\dfrac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z+\oint_{C_2}\dfrac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z \\ &=\oint_{C_1}\dfrac{1}{z-1}\mathrm{d}z+\oint_{C_1}\dfrac{1}{z}\mathrm{d}z+\oint_{C_2}\dfrac{1}{z-1}\mathrm{d}z+\oint_{C_2}\dfrac{1}{z}\mathrm{d}z \\ &=0+2\pi\text{i}+2\pi\text{i}+0 \\ &= 4\pi\text{i}\end{aligned}
∮Γz2−z2z−1dz=∮C1z2−z2z−1dz+∮C2z2−z2z−1dz=∮C1z−11dz+∮C1z1dz+∮C2z−11dz+∮C2z1dz=0+2πi+2πi+0=4πi
此处,由柯西-古萨基本定理可得
∮
C
1
1
z
−
1
d
z
=
0
\displaystyle\oint_{C_1}\frac{1}{z-1}\mathrm{d}z=0
∮C1z−11dz=0 和
∮
C
2
1
z
d
z
=
0
\oint_{C_2}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=0
∮C2z1dz=0;
由例5可得
∮
C
1
1
z
d
z
=
∮
C
2
1
z
−
1
d
z
=
2
π
i
\displaystyle\oint_{C_1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\oint_{C_2}\frac{1}{z-1}\mathrm{d}z=2\pi\text{i}
∮C1z1dz=∮C2z−11dz=2πi
\quad
2.3 复变函数的不定积分
∙
\bullet\quad
∙复变函数的不定积分
定理
如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在单连通域
B
B
B 内处处解析,那么
∫
C
f
(
z
)
d
z
\displaystyle\int_Cf(z)\mathrm{d}z
∫Cf(z)dz 与连接起点和终点的路线
C
C
C 无关。
\qquad
上图中, ∫ C 1 f ( z ) d z = ∫ C 2 f ( z ) d z = ∫ z 0 z 1 f ( z ) d z \displaystyle\int_{C_1}f(z)\mathrm{d}z=\displaystyle\int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z=\displaystyle\int_{z_0}^{z_1}f(z)\mathrm{d}z ∫C1f(z)dz=∫C2f(z)dz=∫z0z1f(z)dz
定理
如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在单连通域
B
B
B 内处处解析,那么函数
F
(
z
)
F(z)
F(z) 必为
B
B
B 内的一个解析函数,且
F
′
(
z
)
=
f
(
z
)
F^\prime(z)=f(z)
F′(z)=f(z)。
上图中固定 z 0 z_0 z0,让 z 1 z_1 z1 在 B B B 内变动,令 z 1 = z z_1=z z1=z,则 ∫ z 0 z f ( z ) d z \displaystyle\int_{z_0}^{z}f(z)\mathrm{d}z ∫z0zf(z)dz 在 B B B 内确定了一个单值函数 F ( z ) = ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ F(z)=\displaystyle\int_{z_0}^{z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta F(z)=∫z0zf(ζ)dζ
定义
如果在区域
B
B
B 内有
F
′
(
z
)
=
f
(
z
)
F^\prime(z)=f(z)
F′(z)=f(z),那么
F
(
z
)
F(z)
F(z) 是
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在区域
B
B
B 内的一个原函数。
因此,复变函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的不定积分定义为
∫
f
(
z
)
d
z
=
F
(
z
)
+
C
\displaystyle\int f(z)\mathrm{d}z=F(z)+C
∫f(z)dz=F(z)+C。
▶ \blacktriangleright ▶ 类似于一元实函数的积分上限函数,可知 F ( z ) = ∫ z 0 z f ( ζ ) d ζ F(z)=\displaystyle\int_{z_0}^{z}f(\zeta)\mathrm{d}\zeta F(z)=∫z0zf(ζ)dζ 是 f ( z ) f(z) f(z) 的一个原函数。
定理
如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在单连通域
B
B
B 内处处解析,那么
F
(
z
)
F(z)
F(z) 是
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
B
B
B 内的一个原函数,那么
∫
z
0
z
1
f
(
z
)
d
z
=
F
(
z
1
)
−
F
(
z
0
)
\textcolor{crimson}{\displaystyle\int_{z_0}^{z_1}f(z)\mathrm{d}z=F(z_1)-F(z_0)}
∫z0z1f(z)dz=F(z1)−F(z0)
例. 求积分
∫
0
i
z
cos
z
d
z
\displaystyle\int_{0}^{\text{i}}z\cos z\mathrm{d}z
∫0izcoszdz 的值。
函数
z
cos
z
z\cos z
zcosz 在整个复平面内解析,且有
(
z
sin
z
+
cos
z
)
′
=
z
cos
z
(z\sin z+\cos z)^\prime=z\cos z
(zsinz+cosz)′=zcosz
∫
0
i
z
cos
z
d
z
=
[
z
sin
z
+
cos
z
]
∣
0
i
=
i
sin
i
+
cos
i
−
1
=
e
−
1
−
1
\displaystyle\int_{0}^{\text{i}}z\cos z\mathrm{d}z=[z\sin z+\cos z]\big|_0^{\text{i}}=\text{i}\sin \text{i}+\cos\text{i}-1=e^{-1}-1
∫0izcoszdz=[zsinz+cosz]
0i=isini+cosi−1=e−1−1
\quad
2.4 柯西积分公式、高阶导数
★
\textcolor{red}{\bigstar}\quad
★柯西积分公式
\quad
设
B
B
B 为单连通域,
z
0
∈
B
z_0\in B
z0∈B,如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在
B
B
B 内解析,那么函数
f
(
z
)
z
−
z
0
\frac{f(z)}{z-z_0}
z−z0f(z) 在
z
0
z_0
z0 不解析,所以在
B
B
B 内沿围绕
z
0
z_0
z0 的一条闭曲线
C
C
C 的积分
∮
C
f
(
z
)
z
−
z
0
d
z
\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z
∮Cz−z0f(z)dz 一般不为零,且积分值沿任何一条围绕
z
0
z_0
z0 的简单闭曲线都是相同的。
定理
如果
f
(
z
)
f(z)
f(z) 在区域
D
D
D 内处处解析,
C
C
C 为
D
D
D 内的任何一条正向简单曲线,且
C
C
C 的内部完全包含于区域
D
D
D 中,
z
0
z_0
z0 为
C
C
C 内任一点,那么
f
(
z
0
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
z
−
z
0
d
z
\textcolor{crimson}{f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi\text{i}}\displaystyle\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z}
f(z0)=2πi1∮Cz−z0f(z)dz 或
∮
C
f
(
z
)
z
−
z
0
d
z
=
2
π
i
f
(
z
0
)
\displaystyle\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z=2\pi\text{i}f(z_0)
∮Cz−z0f(z)dz=2πif(z0)
柯西积分公式,把 f ( z ) f(z) f(z) 在 C C C 内部任一点的函数值用它在边界上的值来表示
或者说,只要 f ( z ) f(z) f(z) 在区域边界上的值确定了,那么 f ( z ) f(z) f(z) 在区域内部任一点处的函数值也就确定了
▶ \blacktriangleright ▶ 如果 C C C 是圆周 z = z 0 + R e i θ z=z_0+Re^{\text{i}\theta} z=z0+Reiθ,那么柯西积分公式就变成 f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{\text{i}\theta})\mathrm{d}\theta f(z0)=2π1∫02πf(z0+Reiθ)dθ
由 d z = i R e i θ d θ \mathrm{d}z=\text{i}Re^{\text{i}\theta}\mathrm{d}\theta dz=iReiθdθ,可得 f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z = 1 2 π i ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) R e i θ i R e i θ d θ = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + R e i θ ) d θ f(z_0)=\frac{1}{2\pi\text{i}}\displaystyle\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi\text{i}}\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+Re^{\text{i}\theta})}{Re^{\text{i}\theta}}\text{i}Re^{\text{i}\theta}\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{\text{i}\theta})\mathrm{d}\theta f(z0)=2πi1∮Cz−z0f(z)dz=2πi1∫02πReiθf(z0+Reiθ)iReiθdθ=2π1∫02πf(z0+Reiθ)dθ
例. 求积分 ∮ C ( 1 z + 1 + 2 z − 3 ) d z \displaystyle\oint_C\left(\dfrac{1}{z+1}+\dfrac{2}{z-3}\right)\mathrm{d}z ∮C(z+11+z−32)dz 的值,其中 C C C 为正向圆周 ∣ z ∣ = 4 |z|=4 ∣z∣=4。
∮ C ( 1 z + 1 + 2 z − 3 ) d z = ∮ C 1 z + 1 d z + ∮ C 2 z − 3 d z = 2 π i ⋅ 1 + 2 π i ⋅ 2 = 6 π i \displaystyle\oint_C\left(\frac{1}{z+1}+\frac{2}{z-3}\right)\mathrm{d}z=\oint_C\frac{1}{z+1}\mathrm{d}z+\oint_C\frac{2}{z-3}\mathrm{d}z=2\pi\text{i}\cdot1+2\pi\text{i}\cdot2=6\pi\text{i} ∮C(z+11+z−32)dz=∮Cz+11dz+∮Cz−32dz=2πi⋅1+2πi⋅2=6πi
★
\textcolor{red}{\bigstar}\quad
★高阶导数
\quad
一个解析函数不仅有一阶导数,还有高阶导数,高阶导数的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示。
定理
解析函数
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的导数仍然是解析函数,它的
n
n
n 阶导数为
f
(
n
)
(
z
0
)
=
n
!
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
+
1
d
z
,
n
=
1
,
2
,
⋯
\textcolor{crimson}{f^{(n)}(z_0)=\dfrac{n!}{2\pi\text{i}}\displaystyle\oint_C\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z},\ n=1,2,\cdots
f(n)(z0)=2πin!∮C(z−z0)n+1f(z)dz, n=1,2,⋯
其中,
C
C
C 为在
f
(
z
)
f(z)
f(z) 的解析区域
D
D
D 内围绕
z
0
z_0
z0 的任何一条正向简单闭曲线,且它的内部全含于
D
D
D。
例. 求积分
∮
C
cos
π
z
(
z
−
1
)
5
d
z
\displaystyle\oint_C\dfrac{\cos\pi z}{(z-1)^5}\mathrm{d}z
∮C(z−1)5cosπzdz 的值,其中
C
C
C 为正向圆周
∣
z
∣
=
r
>
1
|z|=r>1
∣z∣=r>1。
函数
cos
π
z
(
z
−
1
)
5
\dfrac{\cos\pi z}{(z-1)^5}
(z−1)5cosπz 在
C
C
C 内
z
=
1
z=1
z=1 处不解析,但是函数
cos
π
z
\cos\pi z
cosπz 在
C
C
C 内处处解析
由高阶导数公式可得
∮
C
cos
π
z
(
z
−
1
)
5
d
z
=
2
π
i
(
5
−
1
)
!
(
cos
π
z
)
(
4
)
∣
z
=
1
=
−
π
5
i
12
\displaystyle\oint_C\frac{\cos\pi z}{(z-1)^5}\mathrm{d}z=\frac{2\pi\text{i}}{(5-1)!}(\cos\pi z)^{(4)}\big|_{z=1}=-\frac{\pi^5\text{i}}{12}
∮C(z−1)5cosπzdz=(5−1)!2πi(cosπz)(4)
z=1=−12π5i