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使用位运算实现加法、减法、乘法和除法

article 2025/3/15 9:30:10

使用位运算实现加法、减法、乘法和除法是一个经典的计算机科学问题。位运算通常用于低级程序设计和性能优化中，以下是如何用位运算实现这些基本数学运算。

加法

加法可以通过以下步骤实现：

def add(a, b):
    while b != 0:
        # 使用异或得到不考虑进位的加法结果
        sum_without_carry = a ^ b
        # 计算进位
        carry = (a & b) << 1
        # 更新 a 和 b
        a = sum_without_carry
        b = carry
    return a

减法

减法可以通过构造负数并使用加法来实现：

def subtract(a, b):
    # 通过补码法实现 a - b，即计算 a + (-b)
    while b != 0:
        # 使用异或获得不考虑借位的减法结果
        subtract_without_borrow = a ^ b
        # 计算借位，注意这里与加法中的进位不同，需要借位补偿
        borrow = (~a & b) << 1
        # 更新 a 和 b
        a = subtract_without_borrow
        b = borrow
    return a

# 或者使用add计算
def subtract(a, b):
    # 利用按位取反和加 1 获取 b 的补码，进而变为加法
    return add(a, add(~b, 1))

乘法

使用位运算实现乘法主要依赖于移位和加法。基本思想是默认为右移逐位提取因子：

def multiply(a, b):
    result = 0
    negative = (a < 0) ^ (b < 0)  # 判断结果符号
    a, b = abs(a), abs(b)

    while b > 0:
        if b & 1:  # 如果 b 的最低位是 1
            result = add(result, a)
        a <<= 1  # 左移 a，相当于 a * 2
        b >>= 1  # 右移 b，相当于 b // 2

    return -result if negative else result

除法

除法相对复杂，因为我们需要不断减去被除数直到不能再继续，同时记录减去了多少次：

def divide(dividend, divisor):
    if divisor == 0:
        raise ValueError("Cannot divide by zero")
        
    negative = (dividend < 0) ^ (divisor < 0)  # 判断结果符号
    dividend, divisor = abs(dividend), abs(divisor)
    result = 0

    # 试图将除数不断左移，通过以更大的尺度进行减法以提高效率
    while dividend >= divisor:
        temp, multiple = divisor, 1
        while dividend >= (temp << 1):
            temp <<= 1
            multiple <<= 1
        dividend -= temp
        result = add(result, multiple)

    return -result if negative else result