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新手村：统计量均值、中位数、标准差、四分位数

article 2025/3/16 6:28:52

新手村：统计量均值、中位数、标准差、四分位数

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统计量定义与讲解

统计量	定义	计算公式	示例说明
均值	数据集中的所有数值之和除以数值的个数。	$\text{Mean} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$	对于数据集 [1, 2, 3, 4, 5]，均值为 $(1 + 2 + 3 + 4 + 5) /5 = 3$
中位数	将数据集排序后位于中间位置的数值。如果数据集长度为偶数，则取中间两个数的平均值。	排序后取中间值（或中间两个数的平均值）	对于数据集 [1, 2, 3, 4, 5]，中位数为 3；对于 [1, 2, 3, 4]，中位数为 $(2 + 3) /2 = 2.5$
标准差	衡量数据集内数值分布的离散程度。	$\text{Standard Deviation} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n}}$	对于数据集 [1, 2, 3, 4, 5]，标准差约为 1.414
四分位数	将数据集分为四个等份，分别对应第25%、第50%（即中位数）、第75%的位置上的值。	Q1（第一四分位数）：下四分位数；Q2（第二四分位数）：中位数；Q3（第三四分位数）：上四分位数	对于数据集 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，Q1 = 2.25, Q2 = 4.5, Q3 = 6.75

示例计算

假设我们有一个数据集：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

均值

$\text{Mean} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{36}{8} = 4.5$

中位数

排序后的数据集为 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
中位数是中间两个数的平均值：
$\text{Median} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$

标准差

首先计算每个数值与均值的差的平方：
$1-4.5)^2 = 12.25, (2-4.5)^2 = 6.25, (3-4.5)^2 = 2.25, (4-4.5)^2 = 0.25, \\ (5-4.5)^2 = 0.25, (6-4.5)^2 = 2.25, (7-4.5)^2 = 6.25, (8-4.5)^2 = 12.25$
然后计算这些平方差的平均值并开方：
$\text{Standard Deviation} = \sqrt{\frac{12.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25}{8}} = \sqrt{\frac{42}{8}} \approx 2.29$

四分位数

四分位数是将数据集分为四个等份的三个分割点，分别称为第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2，即中位数）和第三四分位数（Q3）。这些分割点可以帮助我们了解数据的分布情况。以下是详细的四分位数计算步骤和示例。

四分位数的定义

Q1（第一四分位数）：位于数据集第25%位置的值。
Q2（第二四分位数）：位于数据集第50%位置的值，即中位数。
Q3（第三四分位数）：位于数据集第75%位置的值。

计算步骤

排序数据集：首先将数据集按升序排列。
确定位置：
- Q1的位置： $\times 0.25$
- Q2的位置： $\times 0.5$
- Q3的位置： $\times 0.75$
  其中 $n$ 是数据集中的数值个数。
插值计算：如果位置不是整数，则使用线性插值法计算四分位数。

示例

假设我们有一个数据集：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

步骤1：排序数据集

数据集已经按升序排列：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

步骤2：确定位置

数据集大小 $n = 8$
Q1的位置： $\times 0.25 = 2.25$
Q2的位置： $\times 0.5 = 4.5$
Q3的位置： $\times 0.75 = 6.75$

步骤3：插值计算

Q1（第一四分位数）：
- 位置为2.25，表示在第2个和第3个数据之间。
- 使用线性插值： $\times (3 - 2) = 2.25$
Q2（第二四分位数）：
- 位置为4.5，表示在第4个和第5个数据之间。
- 使用线性插值： $\times (5 - 4) = 4.5$
Q3（第三四分位数）：
- 位置为6.75，表示在第6个和第7个数据之间。
- 使用线性插值： $\times (7 - 6) = 6.75$

总结表格

统计量	位置公式	插值计算公式	示例（数据集 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]）
Q1	$\times 0.25$	$L_{Q1} + F_{Q1} \times (U_{Q1} - L_{Q1})$	$\times (3 - 2) = 2.25$
Q2	$\times 0.5$	$L_{Q2} + F_{Q2} \times (U_{Q2} - L_{Q2})$	$\times (5 - 4) = 4.5$
Q3	$\times 0.75$	$L_{Q3} + F_{Q3} \times (U_{Q3} - L_{Q3})$	$\times (7 - 6) = 6.75$

解释

位置公式：用于确定四分位数的大致位置。
插值计算公式：
- $L_{Qi}$ ：四分位数位置的下限值。
- $F_{Qi}$ ：四分位数位置的小数部分。
- $U_{Qi}$ ：四分位数位置的上限值。

通过上述步骤和公式，您可以准确地计算出任何数据集的四分位数。以下是一个Python代码示例，展示如何使用pandas库来计算四分位数：
然而，Pandas 的 quantile 方法在处理偶数个元素时会略有不同：

Q1: $\frac{2 + 3}{2} + 0.25 * (3-2) = 2.75$
Q3: $\frac{5 + 6}{2} + 0.75 * (6-5)= 6.25$
Q2: $4.5$

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
# 数据集
data = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 创建DataFrame
df = pd.DataFrame(data, columns=['value'])
# 计算四分位数
Q1 = df['value'].quantile(0.25)
Q2 = df['value'].quantile(0.5)
Q3 = df['value'].quantile(0.75)
print(f"Q1: {Q1}, Q2: {Q2}, Q3: {Q3}")
# 绘制箱线图
plt.figure(figsize=(8, 2))
plt.boxplot(df['value'], vert=False)
plt.title('数据的箱线图')
plt.xlabel('值')
plt.yticks([1], ['数据'])
plt.grid(True)
plt.show()

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输出结果应为：

Q1: 2.75, Q2: 4.5, Q3: 6.25

总结表格

统计量	公式	示例（数据集 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]）
均值	$\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$	$(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) /8 = 4.5$
中位数	排序后取中间值（或中间两个数的平均值）	$(4 + 5) /2 = 4.5$
标准差	$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n}}$	$\sqrt{\frac{42}{8}} \approx 2.29$
四分位数	Q1（下四分位数），Q2（中位数），Q3（上四分位数）	Q1 = 2.75, Q2 = 4.5, Q3 = 6.5