《Python深度学习》第二讲:深度学习的数学基础
本讲来聊聊深度学习的数学基础。
深度学习听起来很厉害,其实它背后是一些很有趣的数学原理。本讲会用简单的方式解释这些原理,还会用一些具体的例子来帮助你理解。
2.1 初识神经网络
先从一个简单的任务开始:识别手写数字。
想象一下,你有一堆手写数字的图片,你想让计算机识别出这些数字。这听起来是不是有点像魔法?其实,这就是深度学习能做的事情。我们用一个简单的神经网络来解决这个问题。
我们用的是MNIST数据集,这是一个很经典的数据集,包含60,000张训练图片和10,000张测试图片,每张图片都是一个28×28的灰度图像。我们的目标是训练一个神经网络,让它能够识别这些数字。
from keras.datasets import mnist
(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()
我们来看看这些数据。
train_images
是一个形状为(60000, 28, 28)的3D张量,train_labels
是一个长度为60000的数组,包含0到9的数字。test_images
和test_labels
也是类似的,但只有10,000张图片。
print(train_images.shape) # 输出:(60000, 28, 28)
print(train_labels.shape) # 输出:(60000,)
接下来,我们构建一个简单的神经网络。
这个网络包含两个Dense层,第一层有512个神经元,第二层有10个神经元,对应10个数字类别。我们使用ReLU激活函数和softmax激活函数,让网络能够输出每个数字的概率。
from keras import models
from keras import layers
network = models.Sequential()
network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,)))
network.add(layers.Dense(10, activation='softmax'))
然后,我们需要编译网络。
我们选择rmsprop
作为优化器,categorical_crossentropy
作为损失函数,accuracy
作为评估指标。
network.compile(optimizer='rmsprop',
loss='categorical_crossentropy',
metrics=['accuracy'])
在训练之前,我们需要对数据进行预处理。
我们需要将图片数据从整数转换为浮点数,并且将它们的形状从(28, 28)变为(28 * 28)。我们还需要将标签数据进行分类编码。
train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
train_images = train_images.astype('float32') / 255
test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))
test_images = test_images.astype('float32') / 255
from keras.utils import to_categorical
train_labels = to_categorical(train_labels)
test_labels = to_categorical(test_labels)
最后,我们开始训练网络。
我们用fit
方法来训练网络,每次迭代都会计算损失值和准确率。我们训练5个epoch,每次处理128张图片。
network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)
训练完成后,我们在测试集上评估模型的性能。
test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels)
print('Test accuracy:', test_acc)
结果怎么样呢?
你会发现,这个简单的神经网络在测试集上的准确率可以达到98%左右。这说明深度学习真的很强大,它能够自动从数据中学习规律,然后在新数据上进行准确的预测。
2.2 神经网络的数据表示
好,下面我们来聊聊神经网络的数据表示。
在深度学习中,所有的数据都是以张量的形式存储的。张量就像是一个多维数组,它可以存储不同维度的数据。比如,标量是一个0维张量,它就是一个单独的数字;向量是一个1维张量,它是一组数字;矩阵是一个2维张量,它是一个数字的网格。在深度学习中,我们经常用到高维张量,比如一个4维张量可以用来表示一批图像数据。
我们来看一个具体的例子。
在MNIST数据集中,每张图片是一个28×28的灰度图像,它是一个2维张量。当我们把所有图片放在一起时,它就变成了一个3维张量。比如,train_images
是一个形状为(60000, 28, 28)的3D张量,表示有60,000张图片,每张图片是一个28×28的矩阵。
print(train_images.shape) # 输出:(60000, 28, 28)
张量的属性也很重要。
每个张量都有几个重要的属性:它的轴数(维度数)、形状(每个维度的大小)和数据类型(比如float32或uint8)。这些属性决定了张量的结构和存储方式。
print(train_images.ndim) # 输出:3
print(train_images.shape) # 输出:(60000, 28, 28)
print(train_images.dtype) # 输出:uint8
在训练神经网络之前,我们需要对数据进行预处理。
我们需要将图片数据从整数转换为浮点数,并且将它们的形状从(28, 28)变为(28 * 28)。我们还需要将标签数据进行分类编码。
train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
train_images = train_images.astype('float32') / 255
test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))
test_images = test_images.astype('float32') / 255
from keras.utils import to_categorical
train_labels = to_categorical(train_labels)
test_labels = to_categorical(test_labels)
为什么要这样做呢?
因为神经网络需要输入的数据是浮点数,并且数据的范围最好在0到1之间。这样可以让网络的学习过程更加稳定。分类编码则是为了让标签数据更适合神经网络的输出层。
2.3 神经网络的“齿轮”:张量运算
张量运算是神经网络的核心,它决定了数据如何在神经网络中流动和变换。我们来看几个具体的张量运算。
逐元素运算
逐元素运算是最简单的张量运算之一,它会对张量中的每个元素单独进行操作。比如,ReLU激活函数会将所有负值置为0,这可以帮助网络处理非线性问题。
import numpy as np
def naive_relu(x):
assert len(x.shape) == 2
x = x.copy()
for i in range(x.shape[0]):
for j in range(x.shape[1]):
x[i, j] = max(x[i, j], 0)
return x
广播机制
广播是一种非常巧妙的机制,它可以让不同形状的张量进行运算。比如,你可以将一个2D张量和一个1D张量相加,广播会自动将1D张量扩展到2D张量的形状,然后进行逐元素运算。
def naive_add_matrix_and_vector(x, y):
assert len(x.shape) == 2
assert len(y.shape) == 1
assert x.shape[1] == y.shape[0]
x = x.copy()
for i in range(x.shape[0]):
for j in range(x.shape[1]):
x[i, j] += y[j]
return x
张量点积
点积是一种非常重要的张量运算,它会将两个张量的元素合并在一起。比如,矩阵乘法就是一种点积运算,它在神经网络中被广泛用于计算权重和输入的组合。
def naive_matrix_dot(x, y):
assert len(x.shape) == 2
assert len(y.shape) == 2
assert x.shape[1] == y.shape[0]
z = np.zeros((x.shape[0], y.shape[1]))
for i in range(x.shape[0]):
for j in range(y.shape[1]):
row_x = x[i, :]
column_y = y[:, j]
z[i, j] = np.dot(row_x, column_y)
return z
张量变形与转置
张量变形可以改变张量的形状,但不会改变它的数据。比如,你可以将一个3D张量变形为一个2D张量,以便进行矩阵运算。转置则是将矩阵的行和列互换,这在某些情况下非常有用。
x = np.array([[5, 78, 2, 34, 0],
[6, 79, 3, 35, 1],
[7, 80, 4, 36, 2]])
x = x.reshape((2, 3, 5)) # 变形为一个3D张量
x = np.transpose(x) # 转置
2.4 神经网络的“引擎”:基于梯度的优化
想象你有一个函数,你想找到它的最小值。导数就像是一个指南针,它告诉你函数在某个点的变化方向。梯度则是导数在多维空间中的推广,它告诉你函数在每个方向上的变化速度。
梯度下降算法就像是一个登山者,它会沿着梯度的反方向一步一步地寻找函数的最小值。
每次迭代,它都会根据梯度的大小调整自己的位置,直到找到最小值。
def naive_gradient_descent(x, gradient, learning_rate):
x -= learning_rate * gradient
return x
随机梯度下降(SGD)是一种更高效的梯度下降算法,它每次只用一小部分数据来计算梯度。
这样可以大大减少计算量,同时让训练过程更快。
def naive_sgd(x, gradient, learning_rate):
x -= learning_rate * gradient
return x
链式求导与反向传播算法是深度学习的核心。
反向传播算法通过链式求导来计算每个参数的梯度。想象你有一个复杂的机器,你想调整它的每个部件来达到最好的效果。反向传播就像是一个工程师,它从输出端开始,逐层计算每个部件的调整方向,然后将这些调整方向传播回输入端。
def naive_backpropagation(x, y, learning_rate):
# 这里是一个简化的反向传播过程
gradient = np.dot(x.T, y)
x = naive_gradient_descent(x, gradient, learning_rate)
return x
2.5 回顾第一个例子
好,下面我们来回顾一下第一个例子。
我们用Keras框架实现了一个简单的神经网络,让它能够识别手写数字。我们加载了MNIST数据集,对数据进行了预处理,构建了一个包含两个Dense层的神经网络,编译了网络,训练了网络,并在测试集上评估了模型的性能。
我们来看看这个过程的具体代码。
from keras.datasets import mnist
from keras import models
from keras import layers
# 加载数据
(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()
# 数据预处理
train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
train_images = train_images.astype('float32') / 255
test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))
test_images = test_images.astype('float32') / 255
from keras.utils import to_categorical
train_labels = to_categorical(train_labels)
test_labels = to_categorical(test_labels)
# 构建网络
network = models.Sequential()
network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,)))
network.add(layers.Dense(10, activation='softmax'))
# 编译网络
network.compile(optimizer='rmsprop',
loss='categorical_crossentropy',
metrics=['accuracy'])
# 训练网络
network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)
# 评估模型
test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels)
print('Test accuracy:', test_acc)
结果怎么样呢?
你会发现,这个简单的神经网络在测试集上的准确率可以达到98%左右。这说明深度学习真的很强大,它能够自动从数据中学习规律,然后在新数据上进行准确的预测。
总结
我们从神经网络的数据表示讲起,了解了张量的概念和属性。我们还学习了几种重要的张量运算,比如逐元素运算、广播机制、点积运算、张量变形和转置。最后,我们深入探讨了基于梯度的优化,包括梯度下降算法、随机梯度下降算法和反向传播算法。
这些数学基础是深度学习的核心,它们让神经网络能够自动学习数据的复杂特征。