电机控制常见面试问题（十）

一、Kalman滤波器的原理以及EKF（扩展卡尔曼滤波）的概念

1.理解Kalman滤波器

什么是Kalman滤波器？——用“天气预报”理解
假设你要预测明天的天气（温度），但手头有两个来源的数据：
​气象卫星——预测：准确但偶尔会失灵（偶尔报错）；
​街头温度计——更新：实时但误差大（比如被太阳直晒时温度虚高）。
Kalman滤波器的作用：综合这两个数据，给出一个“最优估计”（既相信卫星，也怀疑温度计的异常值）。
​核心思想：
​预测：先根据历史数据预测当前状态（比如“今天冷，明天可能继续冷”）；
​更新：再用新观测数据修正预测（比如“但气象卫星说今天突然回暖，那我调整预测”）。
​数学本质：
​状态方程：用公式描述“如何从过去推测现在”（例如：温度变化受季节影响）；
​观测方程：用公式描述“传感器如何测量状态”（例如：温度计读数=真实温度+误差）；
​迭代优化：通过不断“预测-修正”缩小误差，最终得到最优解。
​关键假设：
​系统是线性的：比如温度变化率恒定（现实中可能不成立，但这是简化模型）；
​噪声是高斯分布的：误差符合“平均值为0，越接近均值越可能”的正态分布（比如温度计误差在±2℃内更常见）

2.理解EKF

当Kalman滤波器工作在非线性环境时候，需要EKF给它打”补丁“，让它在非线性系统中也能工作。
核心思想：
​线性化：把非线性系统“近似成线性”（用泰勒展开，想象在某一点附近“用直线代替曲线”）；
​动态调整：随着时间推移，不断重新“线性化”模型，适应系统变化。
​数学本质：
​状态方程和观测方程非线性：例如股价受新闻、政策等不可预测因素影响；
​泰勒展开：在当前时刻对非线性函数进行一阶展开，得到线性近似；
​计算雅可比矩阵：记录函数在每一点的“斜率”，用于线性化（类似求导）。
​关键缺点：
​局部近似误差：只在当前点附近准确，远离该点时误差累积；
​计算更复杂：每次迭代都要算雅可比矩阵，对硬件要求更高。

3.总结

Kalman滤波器是基于线性系统模型和高斯噪声假设的最优估计算法，通过预测（基于状态转移方程）和更新（利用观测数据修正）两步递归迭代，最小化状态估计误差。其核心是贝叶斯推断，输出包含状态估计和协方差矩阵（表示不确定性）。而EKF（扩展卡尔曼滤波）针对非线性系统，通过泰勒展开线性化非线性模型（状态方程和观测方程），将非线性问题转化为线性近似后应用Kalman滤波，但需计算雅可比矩阵，且存在局部线性化误差。
特性与场景对比：
​Kalman：计算高效、理论最优，仅适用于线性系统和高斯噪声，如卫星轨道跟踪、无人机导航。
​EKF：扩展性强，可处理非线性，但计算复杂度更高，且对模型非线性程度敏感，适用于机器人动力学估计、SLAM中的相机位姿估计等非线性场景。
​局限性：EKF在强非线性或噪声非高斯时可能失效，此时需改用无迹卡尔曼滤波（UKF）或粒子滤波（PF）。

Kalman滤波器是针对线性系统的高斯噪声最优估计算法，通过预测-更新迭代最小化误差；EKF通过线性化非线性模型扩展其应用，但引入近似误差，适用于机器人、导航等非线性场景，两者均依赖高斯假设，而实际非高斯或强非线性问题需考虑UKF或PF。

过程噪声​：
描述系统内部未被建模的随机干扰或动态不确定性。
例如：飞行器的空气阻力突变、机械系统的摩擦随机波动、传感器采样误差等。
观测噪声​：
来自传感器的测量误差或外部干扰。
例如：温度传感器的读数漂移、雷达的目标反射信号受杂波干扰等。
高斯白噪声在KF中的作用
​简化模型：
通过假设噪声为高斯白噪声，KF能够将复杂的非线性问题转化为线性代数运算（如矩阵乘法、求逆），避免了积分或概率密度估计的复杂性。
​保证最优性：
在线性系统和高斯噪声的假设下，KF能够提供最小均方误差（MMSE）​的最优状态估计。这是通过最大化似然函数或最小化误差协方差实现的。

二、滑动平均滤波器的设计

1.​定义与原理

“滑动平均滤波器是一种基于时间窗口的噪声抑制方法，其核心思想是通过计算连续N个数据的平均值，抑制高频噪声。例如，在温度传感器中，假设采样频率是100Hz，若取N=10，时间常数T c=0.099秒，可有效滤除高于10Hz的噪声。”

2.​关键参数设计

窗口长度N是核心参数，需权衡响应速度与噪声抑制：
​小N（如N=3）​：响应快，但抑制噪声弱，适合电机转速等高频信号；
​大N（如N=100）​：抑制强，但延迟高，适合温度等低频信号。
我通常根据信号带宽选择N，通过公式fc=fs/(2N)计算截止频率，确保目标噪声被衰减。

时间常数 Tc：滤波器响应速度的倒数，定义为窗口长度的倒数

截止频率 fc：滤波器开始衰减的频率，与时间常数成反比

3.与其它滤波器对比

三.PID与MPC的区别

PID（比例-积分-微分）是一种反馈控制算法，通过实时测量误差并动态调整输出（比例项抑制误差、积分项消除稳态偏差、微分项抑制振荡），适用于单变量线性系统，结构简单但依赖参数整定，对复杂扰动适应性较弱。MPC（模型预测控制）则是基于模型的预测优化算法，通过构建系统模型预测未来状态，滚动优化多步输出以最小化长期代价函数（如能耗、跟踪误差），能处理多变量、非线性、带约束的系统，但需高精度模型和较强计算能力，常用于工业过程控制（如化工反应釜）和自动驾驶（如路径跟踪）。​核心区别在于PID“头痛医头”式反馈 vs MPC“未雨绸缪”式预测。

四.李雅普诺夫稳定性的概念

假设你有一个水池，水池的进水量由阀门控制，出水口位置可能随时间变化（比如底部有漏洞）。
​不稳定情况：如果进水量小于出水量，水池的水位会无限下降，最终干涸；
​稳定情况：如果进水量等于出水量，水位保持不变；
​渐近稳定：如果进水量略大于出水量，水池水位会逐渐上升并趋于某个固定值，不再变化。
李雅普诺夫稳定性的本质：通过设计一个“水位函数”（类似水池的蓄水量），证明系统状态（如水位高度）会自动收敛到平衡点，而不会发散或震荡。

李雅普诺夫稳定性通过构造势能函数，证明系统状态误差随时间单调递减至零，从而判定平衡点的渐近稳定性，是分析非线性系统稳定性的核心工具。

五.谈一下对电感与电容的理解

电感是储能元件，通过磁场存储能量，其核心特性包括电感量（L）​、感抗（XL=2πfL）​和饱和特性。​主要作用为滤波（抑制高频噪声）、储能（如DC-DC转换）、调谐（LC谐振）和限流（阻碍电流突变）。​关键参数包括直流电阻（DCR）、额定电流（Irms）和温度稳定性，设计时需权衡电感量、体积和成本，并注意高频下趋肤效应和磁芯饱和问题。​应用场景涵盖电源滤波（如EMI抑制）、电机驱动（电流平滑）、射频电路（谐振匹配）及储能系统（超级电感）。

电容是储能元件，通过电场存储能量，其核心特性包括电容值（C）​、容抗（XC=1/(2πfC)）​和ESR（等效串联电阻）​。​主要作用为滤波（抑制低频噪声、去耦）、储能（如电源缓冲）、信号耦合（交流旁路）和调谐（LC谐振）。​关键参数包括耐压（Vr）、额定电流（Irms）、温度系数（如NPO陶瓷电容的高稳定性）及频率响应（如高频下电容值下降）。设计时需权衡容量、体积、成本及寄生参数，并注意高频下趋肤效应和直流偏置对容量的影响。​应用场景涵盖电源滤波（如PCB去耦）、射频电路（匹配网络）、电机驱动（电流平滑）及储能系统（超级电容）。