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线性代数(1)用 excel 计算鸡兔同笼

线性代数+excel计算鸡兔同笼

  • 案例:鸡兔同笼问题的三种解法(递进式教学)
    • 一、问题描述
    • 二、方程式解法(基础版)
      • 步骤解析
    • 三、线性代数解法(进阶版)
      • 1. 方程组转化为矩阵形式
      • 2. 矩阵求解(逆矩阵法)
    • 四、Excel计算法
      • 操作步骤

案例:鸡兔同笼问题的三种解法(递进式教学)


一、问题描述

已知鸡和兔关在同一个笼子里,共有 35个头94只脚。求鸡和兔各有多少只?


二、方程式解法(基础版)

符合认知规律:从最直观的数学语言入手,培养问题拆解能力。

步骤解析

  1. 定义变量

    • 设鸡的数量为 x x x,兔的数量为 y y y
  2. 列方程组
    { x + y = 35 2 x + 4 y = 94 \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} {x+y=352x+4y=94

  3. 解方程(代入法)

    • x + y = 35 x + y = 35 x+y=35 x = 35 − y x = 35 - y x=35y
    • 代入 2 x + 4 y = 94 2x + 4y = 94 2x+4y=94
      2 ( 35 − y ) + 4 y = 94 2(35 - y) + 4y = 94 2(35y)+4y=94
    • 化简:
      70 + 2 y = 94 ⇒ y = 12 70 + 2y = 94 \quad \Rightarrow \quad y = 12 70+2y=94y=12
    • 回代得 x = 35 − 12 = 23 x = 35 - 12 = 23 x=3512=23

答案:鸡 23 只,兔 12 只。


三、线性代数解法(进阶版)

意义:将实际问题抽象为矩阵运算,为多维问题提供通用解法。

1. 方程组转化为矩阵形式

原方程组:
{ x + y = 35 2 x + 4 y = 94 \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} {x+y=352x+4y=94

等价于矩阵方程:
A x = b ,其中 A = [ 1 1 2 4 ] , x = [ x y ] , b = [ 35 94 ] . A\mathbf{x} = \mathbf{b} \quad \text{,其中} \quad A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 35 \\ 94 \end{bmatrix}. Ax=b,其中A=[1214],x=[xy],b=[3594].

2. 矩阵求解(逆矩阵法)

解为:
x = A − 1 b \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} x=A1b

计算步骤

  1. 求系数矩阵 A A A 的行列式
    det ⁡ ( A ) = ( 1 ) ( 4 ) − ( 1 ) ( 2 ) = 2 \det(A) = (1)(4) - (1)(2) = 2 det(A)=(1)(4)(1)(2)=2

  2. 求逆矩阵 A − 1 A^{-1} A1
    A − 1 = 1 det ⁡ ( A ) [ 4 − 1 − 2 1 ] = 1 2 [ 4 − 1 − 2 1 ] A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} A1=det(A)1[4211]=21[4211]

  3. 矩阵乘法
    [ x y ] = 1 2 [ 4 − 1 − 2 1 ] [ 35 94 ] = [ 4 × 35 − 1 × 94 2 − 2 × 35 + 1 × 94 2 ] = [ 23 12 ] \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 35 \\ 94 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4 \times 35 - 1 \times 94}{2} \\ \frac{-2 \times 35 + 1 \times 94}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 \\ 12 \end{bmatrix} [xy]=21[4211][3594]=[24×351×9422×35+1×94]=[2312]

意义:通过矩阵运算揭示变量间的线性关系,适用于高维复杂问题。


四、Excel计算法

操作步骤

  1. 输入数据

    • 在单元格 A2:C3 输入系数矩阵:

      1   1
      2   4
      

      在这里插入图片描述

    • 在单元格 D2:D3 输入常数项:

      35
      94
      

      在这里插入图片描述

  2. 计算逆矩阵

    • 选中 E1:F2,输入公式:

      =MINVERSE(B2:C3)    
      

      在这里插入图片描述

      Ctrl+Shift+Enter 以数组公式计算。

  3. 矩阵乘法求结果

    • 选中 G1:G2,输入公式:

      =MMULT(B7:C8,E7:E8)  
      

      在这里插入图片描述

      Ctrl+Shift+Enter,得到结果 [23; 12]



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