线性代数（1）用 excel 计算鸡兔同笼
线性代数+excel计算鸡兔同笼
- 案例：鸡兔同笼问题的三种解法（递进式教学）
- 一、问题描述
- 二、方程式解法（基础版）
- 步骤解析
- 三、线性代数解法（进阶版）
- 1. 方程组转化为矩阵形式
- 2. 矩阵求解（逆矩阵法）
- 四、Excel计算法
- 操作步骤
案例：鸡兔同笼问题的三种解法（递进式教学）
一、问题描述
已知鸡和兔关在同一个笼子里，共有 35个头 和 94只脚。求鸡和兔各有多少只？
二、方程式解法（基础版）
符合认知规律：从最直观的数学语言入手，培养问题拆解能力。
步骤解析
-
定义变量：
- 设鸡的数量为 x x x，兔的数量为 y y y。
-
列方程组：
{ x + y = 35 2 x + 4 y = 94 \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} {x+y=352x+4y=94 -
解方程（代入法）：
- 由 x + y = 35 x + y = 35 x+y=35 得 x = 35 − y x = 35 - y x=35−y。
- 代入
2
x
+
4
y
=
94
2x + 4y = 94
2x+4y=94：
2 ( 35 − y ) + 4 y = 94 2(35 - y) + 4y = 94 2(35−y)+4y=94 - 化简：
70 + 2 y = 94 ⇒ y = 12 70 + 2y = 94 \quad \Rightarrow \quad y = 12 70+2y=94⇒y=12 - 回代得 x = 35 − 12 = 23 x = 35 - 12 = 23 x=35−12=23。
答案：鸡 23 只，兔 12 只。
三、线性代数解法（进阶版）
意义：将实际问题抽象为矩阵运算，为多维问题提供通用解法。
1. 方程组转化为矩阵形式
原方程组：
{
x
+
y
=
35
2
x
+
4
y
=
94
\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases}
{x+y=352x+4y=94
等价于矩阵方程：
A
x
=
b
，其中
A
=
[
1
1
2
4
]
,
x
=
[
x
y
]
,
b
=
[
35
94
]
.
A\mathbf{x} = \mathbf{b} \quad \text{，其中} \quad A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 35 \\ 94 \end{bmatrix}.
Ax=b，其中A=[1214],x=[xy],b=[3594].
2. 矩阵求解（逆矩阵法）
解为：
x
=
A
−
1
b
\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}
x=A−1b
计算步骤：
-
求系数矩阵 A A A 的行列式：
det ( A ) = ( 1 ) ( 4 ) − ( 1 ) ( 2 ) = 2 \det(A) = (1)(4) - (1)(2) = 2 det(A)=(1)(4)−(1)(2)=2 -
求逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1：
A − 1 = 1 det ( A ) [ 4 − 1 − 2 1 ] = 1 2 [ 4 − 1 − 2 1 ] A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} A−1=det(A)1[4−2−11]=21[4−2−11] -
矩阵乘法：
[ x y ] = 1 2 [ 4 − 1 − 2 1 ] [ 35 94 ] = [ 4 × 35 − 1 × 94 2 − 2 × 35 + 1 × 94 2 ] = [ 23 12 ] \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 35 \\ 94 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4 \times 35 - 1 \times 94}{2} \\ \frac{-2 \times 35 + 1 \times 94}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 \\ 12 \end{bmatrix} [xy]=21[4−2−11][3594]=[24×35−1×942−2×35+1×94]=[2312]
意义：通过矩阵运算揭示变量间的线性关系，适用于高维复杂问题。
四、Excel计算法
操作步骤
-
输入数据：
-
在单元格
A2:C3输入系数矩阵：1 1 2 4
-
在单元格
D2:D3输入常数项：35 94
-
-
计算逆矩阵：
-
选中
E1:F2，输入公式：=MINVERSE(B2:C3)
按
Ctrl+Shift+Enter以数组公式计算。
-
-
矩阵乘法求结果：
-
选中
G1:G2，输入公式：=MMULT(B7:C8,E7:E8)
按
Ctrl+Shift+Enter，得到结果[23; 12]。
-