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6k ± 1 规则

article 2025/3/18 6:20:40

6k ± 1 规则 是基于对质数分布规律的观察和数学证明得出的。它指出，除了 2 和 3 之外，所有质数都可以表示为 6k ± 1 的形式，其中 k 是正整数。以下是详细的证明过程：

1. 质数的基本性质

质数是指大于 1 的自然数，且只能被 1 和它本身整除的数。质数的分布规律与模 6 的余数密切相关。

2. 模 6 的余数分析

任何整数 n 除以 6 的余数只能是 0, 1, 2, 3, 4, 5。因此，n 可以表示为以下形式之一：

6k（余数为 0）
6k + 1（余数为 1）
6k + 2（余数为 2）
6k + 3（余数为 3）
6k + 4（余数为 4）
6k + 5（余数为 5）

3. 排除非质数形式

6k：6k 是 6 的倍数，可以被 2 和 3 整除，因此不是质数（除非 k = 1，但 6 也不是质数）。
6k + 2：6k + 2 = 2(3k + 1)，可以被 2 整除，因此不是质数（除非 k = 0，但 2 是质数）。
6k + 3：6k + 3 = 3(2k + 1)，可以被 3 整除，因此不是质数（除非 k = 0，但 3 是质数）。
6k + 4：6k + 4 = 2(3k + 2)，可以被 2 整除，因此不是质数。

因此，除了 6k + 1 和 6k + 5，其他形式的数都不是质数。

4. `6k + 5` 与 `6k - 1` 的关系

注意到 6k + 5 可以改写为 6(k + 1) - 1，即 6k - 1。因此，6k ± 1 包含了所有可能的质数形式。

5. 结论

除了 2 和 3 之外，所有质数都可以表示为 6k ± 1 的形式，其中 k 是正整数。

6. 示例

k = 1：6k - 1 = 5（质数），6k + 1 = 7（质数）
k = 2：6k - 1 = 11（质数），6k + 1 = 13（质数）
k = 3：6k - 1 = 17（质数），6k + 1 = 19（质数）

7. 代码实现

基于 6k ± 1 规则的质数判断算法：

bool isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    if (n <= 3) return true; // 2 和 3 是质数
    if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false; // 排除 2 和 3 的倍数
    for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) { // 只检查 6k ± 1 的数
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return false;
    }
    return true;
}