6k ± 1 规则
6k ± 1 规则 是基于对质数分布规律的观察和数学证明得出的。它指出,除了 2 和 3 之外,所有质数都可以表示为 6k ± 1
的形式,其中 k
是正整数。以下是详细的证明过程:
1. 质数的基本性质
质数是指大于 1 的自然数,且只能被 1 和它本身整除的数。质数的分布规律与模 6 的余数密切相关。
2. 模 6 的余数分析
任何整数 n
除以 6 的余数只能是 0, 1, 2, 3, 4, 5
。因此,n
可以表示为以下形式之一:
6k
(余数为 0)6k + 1
(余数为 1)6k + 2
(余数为 2)6k + 3
(余数为 3)6k + 4
(余数为 4)6k + 5
(余数为 5)
3. 排除非质数形式
6k
:6k
是 6 的倍数,可以被 2 和 3 整除,因此不是质数(除非k = 1
,但6
也不是质数)。6k + 2
:6k + 2 = 2(3k + 1)
,可以被 2 整除,因此不是质数(除非k = 0
,但2
是质数)。6k + 3
:6k + 3 = 3(2k + 1)
,可以被 3 整除,因此不是质数(除非k = 0
,但3
是质数)。6k + 4
:6k + 4 = 2(3k + 2)
,可以被 2 整除,因此不是质数。
因此,除了 6k + 1
和 6k + 5
,其他形式的数都不是质数。
4. 6k + 5
与 6k - 1
的关系
注意到 6k + 5
可以改写为 6(k + 1) - 1
,即 6k - 1
。因此,6k ± 1
包含了所有可能的质数形式。
5. 结论
除了 2 和 3 之外,所有质数都可以表示为 6k ± 1
的形式,其中 k
是正整数。
6. 示例
k = 1
:6k - 1 = 5
(质数),6k + 1 = 7
(质数)k = 2
:6k - 1 = 11
(质数),6k + 1 = 13
(质数)k = 3
:6k - 1 = 17
(质数),6k + 1 = 19
(质数)
7. 代码实现
基于 6k ± 1
规则的质数判断算法:
bool isPrime(int n) {
if (n <= 1) return false;
if (n <= 3) return true; // 2 和 3 是质数
if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false; // 排除 2 和 3 的倍数
for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) { // 只检查 6k ± 1 的数
if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return false;
}
return true;
}
8. 优化意义
通过 6k ± 1
规则,可以将需要检查的除数数量减少到原来的 1/3
,从而显著提高算法效率。
总结
6k ± 1
规则是一个基于数学性质的优化,通过排除非质数形式,减少不必要的计算,从而高效地判断质数。