机器学习扫盲系列（2）- 深入浅出“反向传播”-1

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机器学习扫盲系列（1）- 序
机器学习扫盲系列（2）- 深入浅出“反向传播”-1

前言

反向传播(Backpropagation) 是神经网络中重要且难以理解的概念之一，甚至可以说如果理解了反向传播的工作机制，你就基本理解了神经网络的工作原理。所以我们从“反向传播”切入，由此揭开神经网络的神秘面纱。学习完之后你会发现，反向传播只是一个非常简单的过程，它告诉我们在神经网络中需要怎么改变参数。

一、神经网络的本质

神经网络的本质其实就是根据数据集（点）拟合预测/推理函数（曲线），所以简单来说神经网络其实是一个“极为复杂的曲线拟合机器”。 如下图所示，左图的点作为训练数据，神经网络经过训练之后会拟合处右图的曲线，这样对新数据x，可以预测/推理出y的值。

二、线性问题

为了简单起见，我们使用一个线性回归模型作为示例来演示。显然，我们在对训练数据拟合成函数（曲线）之前，需要先假设一个预测的函数，如 y = weight * x + bias。有了预测函数之后，我们就可以对每个数据计算损失（实际值和预测值的偏差）。这里我们使用 MSE（mean squared error loss 均方误差） 作为损失函数, 针对预测函数中参数的不同值，我们都可以计算出这批训练数据的总的损失。

如下图，直线是我们假设的预测函数，图上的点是训练数据。我们试着调整weight 和 bias 的值，看看损失如何变化。

上面提到，我们要让损失函数的值最小才能得到最完美的预测函数， 那我们先看看损失函数的图形，如下图。x、y轴分别表示 weight 和 bias， z 轴的值就是对应的损失值。大家想想，怎样才能找到损失值最小的位置（weight 和 bias）？

由此引出梯度（导数，在某个位置的瞬时变化率）的定义。下面的公式给的是只有一个变量x 的情况。因此我们还是先从简单的图形入手。

假设损失函数 loss = x^2 - 1, 我们得到下面的图形：

虽然肉眼很容易能看出来最小值在哪个位置，但是对于计算机来说却很难，尤其是函数非常复杂的时候。那怎么才能找到让 loss 最（极）小的位置呢？ 首先，我们观察这个图形，在什么情况下 loss 值最小？是不是当梯度为0或者梯度接近于0的时候 loss 最（极）小。这个时候，有人可能会说，那直接令 梯度=0，解析出这个函数的变量x值就行了吧（求解析解）？
其实不然，为什么?

解析解的不可行性

1. 解析解的不可行性，数学复杂度：
对于绝大多数模型（如神经网络、支持向量机等），损失函数是高维非线性的，其梯度方程（∇L(θ)=0）常无法分解为闭式解（closed-form solution）。例如：

• 线性回归可以求得解析解（θ=(XᵀX)⁻¹Xᵀy），但仅因模型是凸且线性。
• 对复杂模型（如深度学习），损失函数的高度非线性导致方程求解需要多项式时间之外的计算量。

2. 计算资源限制, 维数灾难，高维参数空间的矩阵运算代价极高。例如：

• 当参数维度为n时，求解线性方程组的计算复杂度为O(n³)，而n=1e⁶时需1e¹⁸次运算。
• 实际深度学习模型的参数规模可达1e⁹量级（如GPT-3），直接求解完全不现实。

3. 非凸优化问题,局部极小值与鞍点：

• 非凸损失函数（如神经网络的损失函数）的梯度为零点可能是局部极小值或鞍点，而全局极小值难以定位。
• 鞍点尤其在高维空间中普遍存在（概率随维度指数级增长），直接求解梯度为零可能落入低质量解。

4. 数据驱动动态优化,在线学习与大数据场景：

• 当数据集过大时，直接求解需一次性加载全体数据（内存不足问题）。

梯度下降与随机梯度下降

ok，那我们想想如果不用解析解，你会怎么找到最小值？显然，聪明的你肯定会想到这样做：
Prepare阶段：使用训练数据求出损失函数（正向传播）

1. 随机初始化一个位置值 x1
2. 计算x1处的梯度d1
3. 计算 步长=d1 * 学习率（通过调参设置）（这里你会发现一个很巧妙的地方，离最优点越远，步长越长）
4. 更新位置 x2 = x1 - 步长 = x1 - d1 * 学习率
5. 循环执行，直到梯度接近0 或者 步数达到最大值

恭喜，你发明了梯度下降算法。

在继续之前，大家想想这个算法有没有什么问题？如果训练数据量非常大，我们的损失函数就会异常复杂，因为计算损失函数时需要将参数加载到内存/显存中，过大的训练数据显然无法运行。怎么办？

把全量数据（epoch）按固定大小随机分组，每次只拿这一组的数据（batch）计算损失函数。

恭喜，你发明了随机梯度下降算法。

以上只是一个参数的情况，如果涉及两个参数比如 weight 和 bias，该怎么处理？
还是让我们先回到一开始的预测函数 y = weight * x + bias。 这里的两个参数weight 和 bias 都会影响 loss值 ，那我们需要计算每个参数对loss的影响程度，即偏导数（梯度），然后根据偏导数不断迭代更新相应参数的值，从而找到最优解（loss 最小）。我们看看有两个参数时，loss的变化情况，为简单起见，我们用二维等高线来画。

用loss的颜色深浅表示loss值。从图上能很明显看出当 weight = -1， bias = 5时loss为0，也就是我们的目标优化位置。

举个例子，顺便复习一下刚刚梯度下降的步骤，让我们试着从图上随机取点来优化我们的参数（初始化）。

第二步 需要分别计算两个参数在这个位置的偏导数（梯度）

第三步：分别计算两个参数的步长，第四步： 更新w 和 b

回顾以上步骤，大家再想想哪一步是比较难的？

对，第3步，怎么计算损失函数的梯度值？

链式法则

先看下这张图：

如果你想知道蓝色值（loss）如何被粉色值（参数）影响，你会怎么观察？
先从蓝色值开始：

1. 观察蓝色值被橘色值影响的程度
2. 观察橘色值被绿色值影响的程度
3. 观察绿色值被粉色值影响的程度

恭喜，你发明了链式法则！ 看公式：

注意，这里的neuron就是预测函数y。当你想知道loss被w的影响程度（loss 关于 w的梯度）， 你可以先计算loss被neuron（预测值）的影响程度，再计算neuron（预测值）被w的影响程度，两个相乘，你就得到了loss 关于 w的梯度。 再观察下，我们是从后往前计算梯度（loss -> 预测值 -> 参数），这也是反向传播这一名词的由来，这样做的好处是可以利用前向传播过程中的计算结果，而不需要重复计算，节约资源和时间。

ok，来看一个具体的示例。
对于 y=wx + b， 我们假设有一条训练数据（x=2.1， y=4），w=1，b=0

正向传播：

反向传播：


分别更新参数，这里我们设置学习率为 0.1 （lr = 0.1），学习率的更新也是人工/自动调参的一部分：

看看更新参数后loss值：

3.61 -> 2.87， loss 下降了！

三、非线性问题

还是回到一开始的图，如果是这些点，你会怎么选择函数来拟合呢？

聪明的你可能会想到用一个相对复杂的嵌套函数来拟合这个曲线：
y= log(1 + e^(w11 * x + b11)) * w21 + log(1 + e^(w12 * x + b12)) * w22 + b2

恭喜，你发明了神经网络！

也就是说，上面的公式其实可以用一个简单的神经网络结构来表示：

那么它的正向传播过程就可以表示为：

而反向传播计算梯度的过程就可以这样表示，这里就以w21和w11为例：

注意： 如果在计算某个参数w11的梯度时用到了另一个参数w21的值，w21的值应该取当前值，而不是优化后的值。等计算完梯度，再统一对所有参数进行迭代更新。

到这里，我们应该能发现，为了拟合更加复杂的曲线，我们可以在每层添加更多神经元、更多层以及在输出中添加非线性（激活函数）来实现。如果我们把整个神经网络视为一个函数，那么通过添加更多神经元和更多层，我们就可以创建一个嵌套更多的函数。这样做有几大好处：

1. 创建了更多可以调整的参数来拟合输出结果
2. 保证可微： 可以计算梯度，也就是没有尖锐拐角或断层
3. 通过添加具有失活点的非线性激活函数，某些神经元可能对输出没有影响，而其他神经元可能变得更加活跃，从而导致输出不必遵循线性约束。

激活函数

我们这里使用的是softplus作为激活函数：

还有比较常见的激活函数：
常见激活函数：

• Relu：
  
• sigmoid：
  

未完待续。。。