FOC——Butterworth （巴特沃斯）数字滤波器（2025.03.18）

参考链接1: [DSP] Butterworth （巴特沃斯）数字滤波器设计参考
参考链接2: 陈佩青《数字信号处理教程》
参考链接3: ButterWorthFIlter(巴特沃斯滤波器)

  在此感谢各位前辈大佬的总结，写这个只是为了记录学习大佬资料的过程，内容基本都是搬运的大佬博客，觉着有用自己搞过来自己记一下，如果有大佬觉着我搬过来不好，联系我删。

1、什么是Butterworth （巴特沃斯）数字滤波器？

  在嵌入式音频产品开发过程中经常会到LPF（Low Pass Filter 低通滤波器）和HPF（High Pass Filter 高通滤波器），一般情况下都是离线用工具(如: Matlab）设计好滤波器的参数（Filter Coefficients）再应用到产品中去。但有些状况下需要用户自己根据需求来实时(Real-time)调整Filter Frequency Response (滤波器频率响应）,这种情形下就需要在嵌入式系统中实时根据客户的设定需求来产生相应的Filter Coefficients。
  巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。 在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，每十倍频20分贝。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝、三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18分贝、如此类推。巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且也是唯一的无论阶数，振幅对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带振幅衰减速度越快。其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。

  由图可见，当N趋于无穷时，将会得到一个理想的低通滤波器。

归一化原型（低通）系统函数的一般形式是：
$$H_{an}(s)=\frac{d_0}{a_0+a_1\ast s^1+a_2\ast s^2+...+a_N\ast s^N}$$一般情况下希望保持通带增益为0dB，因此上式中的$d_0=a_0$。
对于上式，当$a_0=a_N=1$情况下可得到归一化的巴特沃斯多项式（分母部分）：
n=1时——$H_{an}(s)=s+1$
n=2时——$H_{an}(s)=s^2+1.414s+1$
n=3时——$H_{an}(s)=（s+1）（s^2+s+1）$
n=4时——$H_{an}(s)=（s^2+0.7654s+1）（s^2+1.8478s+1）$
n=5时——$H_{an}(s)=（s+1）（s^2+0.6180s+1）（s^2+1.6180s+1）$
n=6时——$H_{an}(s)=（s^2+0.5176s+1）（s^2+1.414s+1）（s^2+1.9318s+1）$
n=7时——$H_{an}(s)=（s+1）（s^2+0.4450s+1）（s^2+1.247s+1）（s^2+1.8022s+1）$
n=8时——$H_{an}(s)=（s^2+0.3986s+1）（s^2+1.111s+1）（s^2+1.6630s+1）（s^2+1.9622s+1）$

  由此可以得到$d_0=a_0=a_N=1$时的巴特沃斯多项式展开的系数表（陈佩青《数字信号处理教程》第二版266页 表6-4）：

上面的表达式是s域的表达式。
下面是变化到z域的方法。

2、滤波器设计

2.1、低通滤波器

$$s=\frac{1}{C_1}\ast \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$$$C_1={\Omega }_c\ast tan\frac{\omega }{2}$$$${\Omega }_c=1$$$${\omega }_c=\frac{2\pi f_c}{f_s}$$
其中为$f_s$采样频率，$f_c$为-3dB频率点

2.1.1 1阶Butterworth LPF设计

$$H(s)=\frac{1}{s+1}$$将$s=\frac{1}{C_1}\ast \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$代入上式可得：
$$\begin{array}{rl}H(z)=\frac{1}{\frac{1}{C_1}\ast \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+1}=\frac{C_1+C_1{z}^{-1}}{1-z^{-1}+C_1+C_1{z}^{-1}}& =\frac{C_1+C_1{z}^{-1}}{(1+C_1)+(C_1-1)z^{-1}}\\ & =\frac{\frac{C_1}{(C_1+1)}+\frac{C_1}{(C_1+1)}{z}^{-1}}{1+\frac{C_1-1}{C_1+1}{z}^{-1}}\end{array}$$
由上式可得$B_0=B_1=\frac{C_1}{C_1+1},B_2=0,A_0=1,A_1=\frac{C_1}{C_1+1},A_2=0$。

2.1.1.1 1阶Butterworth LPF设计举例

  设定fs=44100Hz, fc=1000Hz 计算1阶Butterworth LPF filter coefficients
因为归一化所以${\Omega }_c=1$，所以代入$C_1={\Omega }_c\ast tan\frac{\omega }{2}$可得：
$$C_1=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast f_c}{f_s}}{2}=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast 1000}{44100}}{2}=0.071358$$代入$B_0=B_1=\frac{C_1}{C_1+1},B_2=0,A_0=1,A_1=\frac{C_1}{C_1+1},A_2=0$可求出：
$$B_0=B_1=\frac{C_1}{C_1+1}=0.06660578$$$$B_2=0$$$$A_0=1$$$$A_1=\frac{C_1}{C_1+1}=-0.866788439$$$$A_2=0$$

2.1.1.2 1阶Butterworth LPF设计Matlab验证

2.1.2 2阶Butterworth LPF设计

$$H(s)=\frac{1}{1+1.414s+s^2}$$将$s=\frac{1}{C_1}\ast \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$代入上式可得：
$$\begin{array}{r}H(z)=\frac{C_1^2+2C_1^2{z}^{-1}+C_1^2{z}^{-2}}{(C_1^2+1.414C_1+1)+(2C_1^2-2)z^{-1}+(C_1^2-1.414C_1+1)z^{-1}}\end{array}$$
令$G=\frac{1}{C_1^2+1.414C_1+1}，其中C_1=tan\frac{{\omega }_c}{2}，{\omega }_c=\frac{2\pi f_c}{f_s}$。
可得：$B_0=G{C}_1^2，B_1=2B_0，B_2=B_0，A_0=1，A_1=G(2C_1^2-2)，A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)$。

2.1.2.1 2阶Butterworth LPF设计举例

  设定fs=44100Hz, fc=1000Hz 计算2阶Butterworth LPF filter coefficients
因为归一化所以${\Omega }_c=1$，所以代入$C_1={\Omega }_c\ast tan\frac{\omega }{2}$可得：
$$C_1=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast f_c}{f_s}}{2}=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast 1000}{44100}}{2}=0.071358$$$$G=\frac{1}{C_1^2+1.414C_1+1}=\frac{1}{0.071358^2+1.414\ast 0.071358+1}=0.90415$$代入$B_0=G{C}_1^2，B_1=2B_0，B_2=B_0，A_0=1，A_1=G(2C_1^2-2)，A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)$可求出：
$$B_0=G{C}_1^2=0.90415\ast 0.071358^2=0.004603998476$$$$B_1=2B_0=2\ast 0.004603998476=0.009207996951$$$$B_2=B_0=0.004603998476$$$$A_0=1$$$$A_1=G(2C_1^2-2)=0.90415\ast (2\ast 0.071358^2-2)=-1.799096409760$$$$A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)=0.90415\ast (0.071358^2-1.414\ast 0.071358+1=0.817512403663)$$

2.1.2.2 2阶Butterworth LPF设计Matlab验证

2.2、高通滤波器

$$s=C_1\ast \frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}$$$$C_1={\Omega }_c\ast tan\frac{\omega }{2}$$$${\Omega }_c=1$$

2.2.1 1阶Butterworth HPF设计

$$H(s)=\frac{1}{s+1}$$将$s=C_1\ast \frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}$代入上式可得：
$$\begin{array}{r}H(z)=\frac{1-z^{-1}}{（C_1+1）+（C_1-1）z^{-1}}\end{array}$$
令$G=\frac{1}{C_1+1}，其中C_1=tan\frac{{\omega }_c}{2}，{\omega }_c=\frac{2\pi f_c}{f_s}$。
可得：$B_0=G，B_1=-B_0，B_2=0，A_0=1，A_1=G(C_1-1)，A_2=0$。

2.2.1.1 1阶Butterworth HPF设计举例

  设定fs=44100Hz, fc=1000Hz 计算1阶Butterworth HPF filter coefficients
因为归一化所以${\Omega }_c=1$，所以代入$C_1={\Omega }_c\ast tan\frac{\omega }{2}$可得：
$$C_1=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast f_c}{f_s}}{2}=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast 1000}{44100}}{2}=0.071358$$$$G=\frac{1}{C_1+1}=G=\frac{1}{0.071358+1}=0.93339421975$$代入$B_0=G，B_1=-B_0，B_2=0，A_0=1，A_1=G(C_1-1)，A_2=0$可求出：
$$B_0=G=0.93339421975$$$$B_1=-B_0=-0.93339421975$$$$B_2=0$$$$A_0=1$$$$A_1=G(C_1-1)=0.93339421975\ast (0.071358-1)=-0.866788439500$$$$A_2=0$$。

2.2.1.2 1阶Butterworth HPF设计Matlab验证

2.2.2 2阶Butterworth HPF设计

$$H(s)=\frac{1}{1+1.414s+s^2}$$将$s=C_1\ast \frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}$代入上式可得：
$$\begin{array}{r}H(z)=\frac{1-2z^{-1}+z^{-2}}{(C_1^2+1.414C_1+1)+(2C_1^2-2)z^{-1}+(C_1^2-1.414C_1+1)z^{-1}}\end{array}$$
令$G=\frac{1}{C_1^2+1.414C_1+1}，其中C_1=tan\frac{{\omega }_c}{2}，{\omega }_c=\frac{2\pi f_c}{f_s}$。
可得：$B_0=G，B_1=-2G，B_2=G，A_0=1，A_1=G(2C_1^2-2)，A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)$。

2.2.2.1 2阶Butterworth HPF设计举例

  设定fs=44100Hz, fc=1000Hz 计算2阶Butterworth HPF filter coefficients
因为归一化所以${\Omega }_c=1$，所以代入$C_1={\Omega }_c\ast tan\frac{\omega }{2}$可得：
$$C_1=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast f_c}{f_s}}{2}=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast 1000}{44100}}{2}=0.071358$$$$G=\frac{1}{C_1^2+1.414C_1+1}=\frac{1}{0.071358^2+1.414\ast 0.071358+1}=0.904152203356$$代入$B_0=G，B_1=-2G，B_2=G，A_0=1，A_1=G(2C_1^2-2)，A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)$可求出：
$$B_0=G=0.904152203356$$$$B_1=-2G=-1.808304406712$$$$B_2=G=0.904152203356$$$$A_0=1$$$$A_1=G(2C_1^2-2)=0.904152203356\ast (2\ast 0.071358^2-2)=-1.799096409760$$$$A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)=0.904152203356\ast （0.071358^2-1.414\ast 0.071358+1)=0.817510981662$$。

2.2.2.2 2阶Butterworth HPF设计Matlab验证

2.3、带通滤波器

$$s=D\ast \frac{1-E{z}^{-1}+z^{-2}}{1+z^{-2}}$$$${\Omega }_c=D\ast \frac{cos{\omega }_0-cos\omega }{sin\omega }$$其中$$D=\Omega \ast cot(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})$$$$E=\frac{2cos(\frac{{\omega }_2+{\omega }_1}{2})}{cos(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})}=2cos{\omega }_0$$

2.3.1 2阶Butterworth 带通滤波器设计

$$H(s)=\frac{1}{s+1}（这里没搞懂为啥用1阶的表达式计算，但是能跟matlab结果对得上，存疑！）$$将$s=D\ast \frac{1-E{z}^{-1}+z^{-2}}{1+z^{-2}}$代入上式可得：
$$\begin{array}{r}H(z)=\frac{1-z^{-2}}{(1+D)-DE{z}^{-1}+(D-1)z^{-2}}\end{array}$$
令$G=\frac{1}{1+D}，其中D=\Omega \ast cot(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})，E=\frac{2cos(\frac{{\omega }_2+{\omega }_1}{2})}{cos(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})}=2cos{\omega }_0$。
可得：$B_0=G，B_1=0，B_2=-G，A_0=1，A_1=-GDE，A_2=G(D-1)$。

2.3.1.1 2阶Butterworth 带通滤波器设计举例

  设定fs=44100Hz, f1=300Hz, f2=350Hz 计算2阶Butterworth 带通滤波器
因为归一化所以${\Omega }_c=1$，所以代入$D=\Omega \ast cot(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})$，其中$w_1=\frac{2\pi f_1}{fs}$，$w_2=\frac{2\pi f_2}{fs}$可得：
$$w_1=\frac{2\pi f_1}{fs}=\frac{2\pi \ast 300}{44100}=0.042742757$$$$w_2=\frac{2\pi f_2}{fs}=\frac{2\pi \ast 350}{44100}=0.04986655$$$$D=\Omega \ast cot(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})=1\ast cot(\frac{0.04986655-0.042742757}{2})=280.7481323$$$$G=\frac{1}{D+1}=\frac{1}{280.7481323+1}=0.003549269$$$$E=\frac{2cos(\frac{{\omega }_2+{\omega }_1}{2})}{cos(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})}=\frac{2cos(\frac{0.04986655+0.042742757}{2})}{cos(\frac{0.04986655-0.042742757}{2})}=1.997868936=2cos{\omega }_0$$代入$B_0=G，B_1=0，B_2=-G，A_0=1，A_1=-GDE，A_2=G(D-1)$可求出：
$$B_0=G=0.003549269$$$$B_1=0$$$$B_2=-G=-0.003549269$$$$A_0=1$$$$A_1=-GDE=-0.003549269\ast 280.7481323\ast 1.997868936=-1.990777961$$$$A_2=G(D-1)=0.003549269\ast (280.7481323-1)=0.992901461$$。

2.3.1.2 2阶Butterworth 带通滤波器设计Matlab验证

2.3.2 2阶Butterworth 带通滤波器设计（仅个人推测，应该是错的)

$$H(s)=\frac{1}{1+1.414s+s^2}$$将$s=D\ast \frac{1-E{z}^{-1}+z^{-2}}{1+z^{-2}}$代入上式可得：
$$\begin{array}{r}H(z)=\frac{1-2z^{-1}+z^{-2}}{(C_1^2+1.414C_1+1)+(2C_1^2-2)z^{-1}+(C_1^2-1.414C_1+1)z^{-1}}\end{array}$$
令$G=\frac{1}{C_1^2+1.414C_1+1}，其中C_1=tan\frac{{\omega }_c}{2}，{\omega }_c=\frac{2\pi f_c}{f_s}$。
可得：$B_0=G，B_1=-2G，B_2=G，A_0=1，A_1=G(2C_1^2-2)，A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)$。

2.3.2.1 2阶Butterworth 带通滤波器设计举例（仅个人推测，应该是错的)

  设定fs=44100Hz, fc=1000Hz 计算2阶Butterworth HPF filter coefficients
因为归一化所以${\Omega }_c=1$，所以代入$C_1={\Omega }_c\ast tan\frac{\omega }{2}$可得：
$$C_1=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast f_c}{f_s}}{2}=1\ast tan\frac{\frac{2\ast \pi \ast 1000}{44100}}{2}=0.071358$$$$G=\frac{1}{C_1^2+1.414C_1+1}=\frac{1}{0.071358^2+1.414\ast 0.071358+1}=0.904152203356$$代入$B_0=G，B_1=-2G，B_2=G，A_0=1，A_1=G(2C_1^2-2)，A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)$可求出：
$$B_0=G=0.904152203356$$$$B_1=-2G=-1.808304406712$$$$B_2=G=0.904152203356$$$$A_0=1$$$$A_1=G(2C_1^2-2)=0.904152203356\ast (2\ast 0.071358^2-2)=-1.799096409760$$$$A_2=G（C_1^2-1.414C_1+1)=0.904152203356\ast （0.071358^2-1.414\ast 0.071358+1)=0.817510981662$$。

2.3.2.2 2阶Butterworth 带通滤波器设计Matlab验证

2.4、带阻滤波器（待推算完善）

$$s=D_1\ast \frac{1-z^{-2}}{1-E_1{z}^{-1}+z^{-2}}$$$${\Omega }_c=D_1\ast \frac{sin\omega }{cos\omega -cos{\omega }_0}$$其中$$D_1={\Omega }_c\ast tan(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})$$$$E_1=\frac{2cos(\frac{{\omega }_2+{\omega }_1}{2})}{cos(\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{2})}=2cos{\omega }_0$$

2.4.1 2阶Butterworth 带阻滤波器设计（待推算完善）

2.4.1.1 2阶Butterworth 带阻滤波器设计举例（待推算完善）

2.4.2.2 2阶Butterworth 带阻滤波器设计Matlab验证