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day3 微机运算基础

article 2025/3/28 6:10:38

文章目录

- 1. 引言
- 2. 进位计数制
- - 2.1 基本概念
  - 2.2 常见进制
- 3. 不同进制之间的转换
- - 3.1 其他进制转十进制
  - 3.2 十进制转其他进制
  - 3.3 二进制与八进制、十六进制的转换
- 4. 二进制编码
- - 4.1 BCD码（Binary-Coded Decimal）
  - 4.2 格雷码（Gray Code）
  - 4.3 ASCII码
- 5. 二进制数的运算
- - 5.1 算术运算
  - 5.2 逻辑运算
- 6. 数的定点与浮点表示
- - 6.1 定点数
  - 6.2 浮点数（IEEE 754标准）
- 7. 带符号数的表示法
- - 7.1 原码、反码、补码
  - 7.2 补码的优势
  - 7.3 溢出检测
- 8. 总结

1. 引言

微机运算基础是计算机科学和电子工程的核心内容。理解计算机如何表示和处理数据，是学习计算机体系结构、编程和数字逻辑设计的前提。本文将主要学习进位计数制、进制转换、二进制运算方法，以及数值的定点、浮点表示和带符号数的表示。

2. 进位计数制

2.1 基本概念

进位计数制是一种按进位规则表示数值的方法，其核心要素包括：

基数（Base）：一个数位可用的字符或数码的个数，可用于区别不同数制（比如如十进制的基数为10，十六进制的基数为16）。
权值：每个数位代表的值为数码值乘以基数的幂次（如十进制数123中，1的权值为 $10^2$ ）。

几进制就是逢几进一，比如十进制数到10需要进位，八进制数到8需要进位。

2.2 常见进制

十进制（Decimal）：基数为10，数码为0-9。
二进制（Binary）：基数为2，数码为0和1，是计算机内部运算的基础。
八进制（Octal）：基数为8，数码为0-7。
十六进制（Hexadecimal）：基数为16，数码为0-9和A-F（A=10, B=11, …, F=15）。
以21为例，按照上述顺序，用这些进制分别进行表示：
方法一： $21_{10} 、10101_2 、 25_8 、 15_{16}$
方法二： $21 H 、 10101 B 、 25 Q 、 15 H$
方法三： $21 、 0 b 10101 、 0 o 25 、 0 x 15$

方法一是下标的形式进行区分。
方法二是使用后缀加以区分，注意到八进制的后缀是Q，这是因为O与0很像，所以用Q代替O，当然有的地方还是以O作为后缀，不必过多纠结，按照上面人的要求即可。
方法三则是添加前缀进行区分。

3. 不同进制之间的转换

进制之间的转换方法总结于下图，可作为参考。

在这里插入图片描述

3.1 其他进制转十进制

因为十进制是人类最熟悉的数制，因此我们把原来进制按每一个位展开，在进行求和即可。
按权展开法：将每个数码乘以基数的幂次后求和。
示例：

二进制数 $1011.01)_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 + 0×2^{-1} + 1×2^{-2} = 11.25_{10}$
十六进制数 $3A.F)_{16} = 3×16^1 + 10×16^0 + 15×16^{-1} = 58.9375_{10}$

3.2 十进制转其他进制

十进制转换为其他进制，就类似于分组的思维，所以我们需要除以基数

整数部分：除基取余法（从下往上取余数）。
小数部分：乘基取整法（从上往下取整数）。
示例：将 $25.375_{10}$ 转换为二进制：
- 整数部分： $25 \div 2 = 12$ 余1 → $11001)_2$
- 小数部分： $0.375 \times 2 = 0.75$ 取0 → $0.75 \times 2 = 1.5$ 取1 → $011)_2$
- 结果： $11001.011)_2$
  小数与正数取方向的要进行区分，可以简单记忆为：每一次运算出来的结果往“边缘”跑。

3.3 二进制与八进制、十六进制的转换

对于八进制和十六进制，可以观察到 $8=2^3、16=2^4$ ，也就是说3位二进制可对应1位的八进制，4位二进制就一位的十六进制。因此，我们可以沿着这个思路进行二进制到八进制与十六进制的转换。

二进制→八进制：每3位二进制为一组，转换为1位八进制（不足补零）。
二进制→十六进制：每4位二进制为一组，转换为1位十六进制。
示例：
$10110110)_2$ → 分组为10 110 110 → 八进制 $266)_8$
$10110110)_2$ → 分组为1011 0110 → 十六进制 $B6)_{16}$

同样的，如果是八进制、十六进制转换为二进制，则是反过来即可。

八进制 → 二进制： 1对3
十六进制 → 二进制： 1对4
示例：
八进制 $266)_8$ →分组为2 6 6 → 转为 10 110 110 → $10110110)_2$
十六进制 $B6)_{16}$ →分组B 6 → 对应1011 0110 → $10110110)_2$

4. 二进制编码

计算机只能识别二进制数，因此我们需要把所有的信息都一一对应到二进制编码中，而上述的二进制码仅仅代表数字之间的运算，对于字符，键盘的输入等都需要有二进制代码，所以设计了一些有标准的，符合人的直觉的二进制编码。

4.1 BCD码（Binary-Coded Decimal）

用4位二进制表示1位十进制数（如 $29_{10} = 0010\ 1001_{BCD}$ ），适用于需要精确十进制运算的场景（如金融计算）。像这种设计，把十进制的每一位分开写成二进制，就不会很费脑筋。

需要注意的是，占一位十进制的数字只能是 0~9，因此对应的4位二进制范围也只能是 0000~1001，至于1010~1111就相当于浪费了。

4.2 格雷码（Gray Code）

相邻数值仅有一位不同，用于减少传感器或通信中的错误。
转换规则：二进制码 → 格雷码：保留最高位，其余每位与前一位异或。

4.3 ASCII码

用7位二进制表示128个字符（包括字母、数字和控制符），扩展ASCII码使用8位。这里的数字就不是运算的数值了，比如数字 1 ，实际上是字符 1，背后则是00110001 。
需要记住一些常用的 ASCII 码，比如：

字符	十六进制	十进制	字符	十六进制	十进制
0	30H	48	回车	0DH	13
A	41H	65	空格	20H	32
a	61H	97	退格	08H	8

因为背后的二进制码太过冗长，且难以记忆，因此我们通常转换为十六进制或者十进制进行记忆。

5. 二进制数的运算

5.1 算术运算

加法：逢2进1（如 $1011 + 0110 = 10001$ ）。
减法：借1当2（需处理补码，见第7节）。
乘法：移位相加（如 $101 \times 11 = 1111$ ）。
除法：类似十进制的长除法。

5.2 逻辑运算

与（AND）：全1则1，否则0。
或（OR）：有1则1。
非（NOT）：取反。
异或（XOR）：相同为0，不同为1。

6. 数的定点与浮点表示

6.1 定点数

整数：小数点固定在最低位右侧（如16位整数范围为 $- 32768$ 到 $32767$ ）。
小数：小数点固定在最高位右侧（如8位定点小数可表示范围 $0.00390625$ 到 $0.99609375$ ）。

6.2 浮点数（IEEE 754标准）

用科学计数法表示数： $N = (-1)^S × M × 2^E$

单精度（32位）：1位符号位（S），8位阶码（E），23位尾数（M）。
双精度（64位）：1位符号位，11位阶码，52位尾数。
规格化处理：调整阶码使尾数最高位为1（背后隐含存储）。

7. 带符号数的表示法

7.1 原码、反码、补码

原码：最高位为符号位（0正1负），数值部分直接转换（如 $5_{10} = 1 0101$ ）。
反码：正数同原码，负数符号位不变，数值位取反（ $5_{10} = 1 1010$ ）。
补码：正数同原码，负数为反码+1（ $5_{10} = 1 1011$ ）。
除了补码可以表示范围是：+127D~128D，原码和反码的范围只能是+127D~-127D

7.2 补码的优势

统一加减法：减法可转换为加法（如 $A - B = A + (-B)_{补}$ ）。
消除+0和-0歧义：补码中0的唯一表示为全0。

7.3 溢出检测

溢出，是对于带符号数的运算结果而言。
只有在当两个正数相加结果为负，或两个负数相加结果为正时，才会发生溢出。
这里总结的判断方法有两个：
一是看两个数符号是否一致，不一致一定不会溢出，一致则判断运算结果是否正确，运算错误一定溢出。
二是双进位法，即通过符号位，数值最高位，这两个位置的进位状态取异或的结果，如果结果是1，则溢出。