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群体智能优化算法-牛顿-拉夫逊优化算法（Newton-Raphson-Based Optimizer, NRBO，含Matlab源代码）

article 2025/3/21 22:49:07

摘要（Abstract）

牛顿-拉夫逊优化算法（Newton-Raphson-Based Optimizer, NRBO）是一种新型群体智能优化算法，受牛顿-拉夫逊方法求解非线性方程的启发。NRBO 结合牛顿-拉夫逊搜索规则（Newton-Raphson Search Rule, NRSR）和陷阱规避算子（Trap Avoidance Operator, TAO），能够在全局搜索和局部开发之间取得良好的平衡，提高算法的收敛速度和优化能力。NRBO 通过随机扰动和梯度信息调整搜索方向，从而提升寻优效率，并有效避免局部最优陷阱。实验表明，NRBO 在求解连续优化问题时表现出较高的搜索精度和收敛稳定性。

算法介绍

NRBO 采用牛顿-拉夫逊方法的迭代思想，在传统优化算法的基础上进行改进，主要特点如下：

牛顿-拉夫逊搜索规则（NRSR）：
- 该规则用于计算个体更新方向，通过牛顿-拉夫逊方法的数值迭代公式调整搜索步长，使个体能够向最优解逼近。
动态参数 delta:
- 随着迭代次数增加，delta 逐渐减小，从而增强算法的稳定性，防止过早收敛。
陷阱规避算子（Trap Avoidance Operator, TAO）：
- 通过随机扰动调整个体位置，增加搜索的多样性，防止个体陷入局部最优。
自适应搜索策略：
- 结合不同的搜索模式（全局探索、局部开发），在不同阶段使用不同策略，提高寻优效率。

详细代码

下面是 NRBO 算法的完整 MATLAB 代码：

% -----------------------------------------------------------------------------------------
% Newton-Raphson-Based Optimizer (NRBO) 牛顿-拉夫逊优化算法
% 
% 参考论文：
% Newton-Raphson-Based Optimizer: A New Population-Based Metaheuristic Algorithm for Continuous Optimization Problems
% Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2024
% DOI: https://doi.org/10.1016/j.engappai.2023.107532
% 
% 作者：Dr. Sowmya R, Dr. M. Premkumar, Dr. Pradeep Jangir
% -----------------------------------------------------------------------------------------

function [Best_Score, Best_Pos, CG_curve] = NRBO(N, MaxIt, LB, UB, dim, fobj)

    % 参数说明：
    % N     - 种群个体数（粒子数量）
    % MaxIt - 最大迭代次数
    % LB    - 搜索空间的下界
    % UB    - 搜索空间的上界
    % dim   - 变量维度
    % fobj  - 目标函数（适应度函数）

    % 陷阱规避算子（TAO）的触发概率
    DF = 0.6;

    % 设定搜索边界
    LB = ones(1, dim) * LB;           
    UB = ones(1, dim) * UB;

    % 初始化种群
    Position = initialization(N, dim, UB, LB);
    Fitness = zeros(N, 1); % 记录个体的适应度值

    % 计算初始种群的适应度值
    for i = 1:N
        Fitness(i) = fobj(Position(i,:));      
    end

    % 记录当前最优和最劣个体
    [~, Ind] = sort(Fitness);     
    Best_Score = Fitness(Ind(1));
    Best_Pos = Position(Ind(1),:);
    Worst_Cost = Fitness(Ind(end));
    Worst_Pos = Position(Ind(end),:);

    % 初始化收敛曲线
    CG_curve = zeros(1, MaxIt);

    % ----------------- 主要优化循环 -----------------
    for it = 1:MaxIt
        % 计算动态参数 delta，随着迭代次数增加而减小
        delta = (1 - ((2 * it) / MaxIt)) .^ 5;

        % 遍历种群中的每个个体
        for i = 1:N                
            % 随机选择两个不同的个体索引
            P1 = randperm(N, 2);                                       
            a1 = P1(1); a2 = P1(2);

            % 计算步长 rho
            rho = rand * (Best_Pos - Position(i,:)) + rand * (Position(a1,:) - Position(a2,:));

            % 计算牛顿-拉夫逊搜索规则（NRSR）
            Flag = 1;                   
            NRSR = SearchRule(Best_Pos, Worst_Pos, Position(i,:), rho, Flag);      
            X1 = Position(i,:) - NRSR + rho;                                  
            X2 = Best_Pos - NRSR + rho;                                            

            % 更新个体位置
            Xupdate = zeros(1, dim);
            for j = 1:dim                                                                       
                X3 = Position(i,j) - delta * (X2(j) - X1(j));           
                a1 = rand; a2 = rand;
                Xupdate(j) = a1 * (a1 * X1(j) + (1 - a2) * X2(j)) + (1 - a2) * X3;             
            end

            % 陷阱规避算子（TAO）防止个体陷入局部最优
            if rand < DF
                theta1 = -1 + 2 * rand(); theta2 = -0.5 + rand();      
                beta = rand < 0.5;
                u1 = beta * 3 * rand + (1 - beta); u2 = beta * rand + (1 - beta);          
                if u1 < 0.5
                    X_TAO = Xupdate +  theta1 * (u1 * Best_Pos - u2 * Position(i,:)) + theta2 * delta * (u1 * mean(Position) - u2 * Position(i,:));
                else
                    X_TAO = Best_Pos + theta1 * (u1 * Best_Pos - u2 * Position(i,:)) + theta2 * delta * (u1 * mean(Position) - u2 * Position(i,:));  
                end
                Xnew = X_TAO;
            else
                Xnew = Xupdate;
            end

            % 边界检查，防止越界
            Xnew = min(max(Xnew, LB), UB);

            % 计算新个体的适应度值
            Xnew_Cost = fobj(Xnew);

            % 更新最优个体
            if Xnew_Cost < Fitness(i)
                Position(i,:) = Xnew;
                Fitness(i) = Xnew_Cost;

                if Fitness(i) < Best_Score
                    Best_Pos = Position(i,:);
                    Best_Score = Fitness(i);
                end
            end

            % 更新最劣个体
            if Fitness(i) > Worst_Cost
                Worst_Pos = Position(i,:);
                Worst_Cost = Fitness(i);
            end
        end

        % 记录当前迭代的最优适应度值
        CG_curve(it) = Best_Score;

        % 显示当前迭代信息
        disp(['Iteration ' num2str(it) ': Best Fitness = ' num2str(CG_curve(it))]);
    end
end