如何把全局坐标系转到机器人本体坐标系

场景

假设某虚拟机器人$R_v$与跟随者机器人$R_f$位置关系如下：

全局坐标系

• ( X )、( Y )：全局坐标系的坐标轴，( O ) 为全局坐标系原点，用于描述机器人在宏观环境中的位置与姿态。

跟随机器人（$R_f$）

• ( x_F )、( y_F )：跟随机器人本体坐标系的坐标轴，构成机器人自身的局部坐标系，用于定义机器人本体的方向（如前进方向、侧向方向）。
• ( ${\theta }_F$)：跟随机器人线速度与水平方向的夹角.

虚拟机器人（$R_v$）

• ( x_V )、( y_V )：虚拟机器人在全局坐标系下的位置坐标，分别表示其在 ( X ) 轴和 ( Y ) 轴方向上的位置。
• ( ${\theta }_V$)：虚拟机器人线速度与水平方向的夹角
• ( R_V )：代表虚拟机器人，虚线框表示其在全局坐标系中的形态与位置，通过 ( x_V )、( y_V ) 和 ( ${\theta }_V$) 完整定义其在环境中的位姿。

则可通过：
$$\left[\begin{array}{ccc}\cos {\theta }_F& \sin {\theta }_F& 0\\ -\sin {\theta }_F& \cos {\theta }_F& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$
将全局坐标系下的位置关系转换到机器人本体坐标系。

1. 旋转矩阵的几何意义

• 该矩阵是三维空间中绕 $z$ 轴旋转 ${\theta }_F$ 的变换矩阵。在机器人领域，全局坐标系（如世界坐标系）与本体坐标系的差异常体现在姿态（旋转角度）上。若机器人本体坐标系相对全局坐标系存在绕 $z$ 轴的旋转（如机器人原地转向），此矩阵可精确描述这一旋转关系。
• 矩阵的列向量对应本体坐标系坐标轴在全局坐标系中的方向，例如：

  • 第一列 $\left[\begin{array}{c}\cos {\theta }_F\\ -\sin {\theta }_F\\ 0\end{array}\right]$ 表示本体坐标系 $x$ 轴在全局坐标系中的投影；

  • 第二列$\left[\begin{array}{c}\sin {\theta }_F\\ \cos {\theta }_F\\ 0\end{array}\right]$表示本体坐标系$y$轴在全局坐标系中的投影；

  • 第三列$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$说明$z$轴方向在两个坐标系中一致（若有$z$轴旋转，需更复杂矩阵）。

2.坐标变换的数学逻辑

• 对全局坐标系下的点${\mathbf{P}}_{\text{全局}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$，用该矩阵变换后得到${\mathbf{P}}_{\text{本体}}$：
  $${\mathbf{P}}_{\text{本体}}=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\theta }_F& \sin {\theta }_F& 0\\ -\sin {\theta }_F& \cos {\theta }_F& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos {\theta }_F+y\sin {\theta }_F\\ -x\sin {\theta }_F+y\cos {\theta }_F\\ z\end{array}\right].$$
  这一过程通过旋转$x-y$平面的坐标，使全局坐标系的方向与机器人本体坐标系的$x-y$平面方向对齐，而$z$坐标保持不变（若存在平移，需额外补充平移向量）。

因此，当机器人本体坐标系相对全局坐标系仅存在绕$z$轴的旋转时，该矩阵可通过数学上的旋转变换，将全局坐标系下的位置关系转换到机器人本体坐标系。