数据结构：利用递推式计算next表

next 表是 KMP 算法的核心内容，下面介绍一种计算 next 表的方法：利用递推式计算

如图 6.3.1 所示，在某一趟匹配中，当对比到最后一个字符的时候，发现匹配失败（s[i] ≠ t[j]）。根据 BF 算法，则令 i = i - j + 1; j=0 ，两个字符串的指针同步回退，然后从该位置开始继续比对。

在下一趟匹配过程中，对于模式串 t 而言，还要从头开始，尽管有一些字符在前一趟匹配中已经比对过且成功。如此就造成了时间上的浪费。

以图 6.3.1 为例，s[i-j, i) 完全是由 0 组成的，那么，在 i, j 回退之后的下一趟比对中，前 $j-1$ 次比对必然会成功。因此，可以令 i 不回退，保持不变，令 j = j - 1 。这样，就减少了比对次数。

上述“令 i 保持不变、j = j - 1”的含义，可以理解为：令 t 相对于 s 向右移动一个单元，然后从前一个匹配失败位置继续比对，如图 6.3.2 所示。

将上述案例推广到稍微一般的情况，如图 6.3.3 所示，在某一轮匹配中，s[i]='E' ≠ 'O'=t[4] ，在此为止匹配失败后，由于 s[i-4, i) = t[0, 4) = 'REGR' ，即 s[i] 左侧的若干字符已经匹配，所以，接下来只需将 t[0] 与 s[i-1] 对齐即可，或者说将 t 向右移动 4-1=3 个字符，等效于 i 保持不变，同时令 j = 1 ，然后继续匹配。

将上面的讨论，再向更一般化的情况推广，如图 6.3.4 所示，假设前一趟比对终止于 s[i] ≠ t[j] ，按照上述操作，指针 i 不必回退，而是将 s[i] 与 t[k] 对齐，并进行下一趟比对。

那么，问题是 k 应该如何确定？

结合图 6.3.4 以及前面两个案例，经过前一趟比对，已经确定匹配的范围是：t[0, j) = s[i-j, i) 。

于是，若模式串 t 经适当向右移动之后，能够与 s 的某一子串完全匹配（包含 s[i] 在内），则其中的必要条件是：t[0, k) = s[i-k, i) = t[j-k, j) 。

也就是，在 t[0, j) 中长度为 k 的真前缀 t[0, k) ，应与长度为 k 的真后缀 t[j-k, j] 完全匹配。

空串是任何字符串的子串，也是任何字符串的前缀和后缀; 任何字符串都是自己的子串，也是自己的前缀和后缀。此类子串、前缀和后缀分别称作平凡子串（trivial substring）、平凡前缀（trivial prefix）和平凡后缀（trivial suffix）。

字符串本身之外的所有非空子串、前缀和后缀，分别称作真子串（proper substring）、 真前缀（proper prefix）和真后缀（proper suffix）。

所以，k 必然来自集合：
N ( t , j ) = { 0 ≤ k < j   ∣   t [ 0 , k ) = t [ j − k , j ) } N(t, j) = \{0\le k\lt j~|~t[0, k) = t[j-k,j)\} N(t,j)={0≤k<j ∣ t[0,k)=t[j−k,j)}
一般地，该集合可能包含多个符合条件的 k 。但需要特别注意的是，其中具体由哪些 k 值构成，仅取决于模式串 t 以及前一趟比对的首个匹配失败位置 t[j] ，而与主串 s 无关。

从图 6.3.4 还可以看出，若下一轮比对从 s[i] 与 t[k] 的比对开始，这等效于将 t 向右移动 j - k 个单元，位移量与 k 负相关。因此，为保证 t 与 s 的对齐位置不倒退（指针 i 不回退），同时又不至于遗漏任何可能得匹配，应在集合 $N(t,j)$ 中挑选最大的 k 。也就是说，当有多个 k 值时，即多个向右移动 t 的方案时，应该保守地选择其中移动距离最短者，即取 k 最大。于是，令：
$$\text{next[j]}=\max (N(t,j))$$
则一旦发现 t[j] 与 s[i] 匹配失败，即可转而将 t[ next[j] ] 与 s[i] 对齐，并从这一位置开始继续下一趟比对。

既然集合 $N(t,j)$ 仅取决于模式串 t 以及匹配失败位置 j，而与主串 s 无关，作为其中的最大元素， next[j] 也必然具有这一性质。于是，对于任一模式串 t ，不妨通过预处理提前计算出所有位置 j 所对应的next[j] 值，并整理为表格（即下面介绍的“next 表”），以便此后反复查询——亦即，将“记忆力”转化为“预知力”。

根据 $N(t,j)$ 集合可知，只要 $j>0$ ，必然有 $0\in N(t,j)$ 。此时集合 $N(t,j)$ 非空，从而可以保证“在其中能够取到最大值”，即 $\text{next[j]}=\max (N(t,j))$ 。

• 令 next[0] = -1

当 $j=0$ 时，即 t 中的第一个字符与 s 中的字符不匹配，集合 $N(t,j)$ 为空集，此时，next[j=0] 的值应该是多少？

当某一趟匹配中，如果模式串 t 的第一个字符即匹配失败，根据匹配过程可知，应该将模式串 t 向右移动一个字符，然后启动下一趟匹配。为此，如果假想模式串 t 的首字符 t[0] 的左侧再有一个字符，可以记作 t[-1] ，并且该字符与任何字符都是匹配的。那么，在这趟本来是 t 的首字符匹配失败的操作中，就可以认为 t[-1] 与主串中对应字符匹配成功，于是“将模式串 t 向右移动一个字符”就可以认为是将 t[-1] 与 s[i] 对齐。

经过上述分析，当 $j=0$ 时，可认为 next[0] = -1 。

• 计算 next[j + 1]

前面已经讲过，next[j] 与主串 s 无关，取决于模式串 t 以及匹配失败的位置 j 。于是，“对于任一模式串 t ，不妨通过预处理提前计算出所有位置 j 所对应的next[j] 值，并整理为表格（即下面介绍的“next 表”），以便此后反复查询”。

在确定了 next[0] = -1 之后，后续的 next[j] 可以使用递推方式计算。

假设已知 next[0] 到 next[j] 的值，由此递推出 next[j+1] 的值。

若 next[j] = k ，则意味着在 t[0, j) 中，自匹配的真前缀和真后缀的最大长度为 k ，故必然有：

next[j+1] ≤ next[j] + 1

而且，当且仅当 t[j] = t[k] 时取等号，即 next[j+1] = next[j] + 1 = k + 1 ，如图 6.3.5 所示。

当 t[j] ≠ t[k] 时，则可以不断向前查找，next[next[j]] + 1, next[next[next[j]]] + 1, ... ，直到 t[-1] 这个与任何字符都匹配的字符，在这个过程中，必然会有能够满足 next[j+1] = next[... next[j] ...] + 1 成立的 t[k] （如图 6.3.6 所示）。即：反复用 next[k] 替换 k （令 k = next[k]），一旦发现 t[j] 与 t[k] 匹配（含与 t[k = -1] 的通配），即可令 next[j + 1] = next[k] + 1 .

既然总有 next[k] < k ，故在此过程中 k 必然严格递减；同时，即便 k 降低至 0，亦必然会终止于通配的next[0] = -1，而不致下溢。如此，该算法的正确性完全可以保证。

由此，就可以创建 next 表。

例 6.3.1 已知串 t = '000010' ，计算 next 表（或称：next 数组值）。

【解】

1. 设 next[0] = -1 。

2. j = 1 时，k = next[j-1] = next[0] = -1 （此时，前面的 next 数组值已经得到，所以必然有 next[j-1] = k ，由此可以计算得到 k ）。

   比较 t[j-1] 和 t[k] （因为 next[j] ≤ next[j-1] + 1，当且仅当 t[j-1] = t[k] 时取等号）：

   t[j-1] = t[0] = 0 ，t[k] = t[-1] = * ，相等（通配），所以：

   next[j] = k+1 （因为 next[j-1] = k ，），

   next[1] = -1+1 = 0 。

3. j = 2 时，k = next[j-1] = next[1] = 0 。

   因为 t[j-1=1] = 0 ，t[k=0] = 0 ，相等，所以 next[j=2] = k + 1 = 0 + 1 = 1 。

4. j = 3 时，k = next[2] = 1 。

   因为 t[j-1=2] = 0 ，t[k=1] = 0 ，相等，所以 next[j=3] = k + 1 = 1 + 1 = 2 。

5. j = 4 时，k = next[j-1=3] = 2 。

   因为 t[j-1=3] =0 ，t[k=2] = 0 ，相等，所以 next[j=4] = k + 1 = 2 + 1 = 3 。

6. j = 5 时，k = next[j-1=4] = 3 。

   因为 t[j-1=4]=1 ，t[k=3] = 0 ，不相等。

   ​ 则 k = next[k=3] = 2 ：因为 t[j-1=4]=1 ，t[k=2] = 0 ，不相等。

   ​ 则 k = next[k=2] = 1 ：因为 t[j-1=4]=1 ，t[k=1] = 0 ，不相等。

   ​ 则 k = next[k=1] = 0 ：因为 t[j-1=4]=1 ，t[k=0] = 0 ，不相等。

   ​ 则 k = next[k=0] = -1 ：因为 t[j-1=4]=1 ，t[k=-1] = * ，相等（通配）。所以 next[j=5] = k + 1 = -1 + 1 = 0 。