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【矩阵快速幂】P2100 凌乱的地下室|省选-

article 2025/4/2 10:19:53

本文涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

P2100 凌乱的地下室

题目描述

小Z家的地下室里并排放n个小方块（小Z是一位MC狂热爱好者，喜欢用小方块装饰他家的地下室），并且每个方块都不一样（小Z喜欢各不相同的东西），比如有草方块、大理石、黑曜石等。

小Z喜欢以一种特殊的顺序摆放这些小方块，比如：草方块、大理石、黑曜石。一天，小D帮助小Z整理地下室，可是智商捉急的小D将所有小方块搬出来后忘记了它们原来的具体位置，凭着模糊的印象，他可能把原来放在第i个位置上的小方块放到第（i-1）、i、（i+1）个位置中的任意一个上（当然，第1个不可能放到第0个位置上，第n个不可能放到第（n+1）个位置上），比如（对应上面那个例子）：大理石、草方块、黑曜石。

小Z是一个心胸宽广的人，他希望计算一下小D一共会有几种可能的摆放结果，并不追究小D的责任（追究了只会更乱……）。由于他自己的智商也比较捉急，所以如果答案很大的话他只想看到最后的8位（前导零就不要给他看了）。

输入格式

一行，一个正整数n，代表小Z家的地下室一共有n个小方块。

输出格式

一行，一个正整数，表示小D一共有几种可能的摆放结果，只输出后8位，前导零不输出。

输入输出样例 #1

输入 #1

3

输出 #1

3

输入输出样例 #2

输入 #2

987

输出 #2

223731

说明/提示

【样例解释1】

接着题目中的例子，一共有3种：（草方块，大理石，黑曜石）、（大理石，草方块，黑曜石）、（草方块，黑曜石，大理石）。

【样例解释2】

一共有……00223731种摆放结果，由于前导零不输出，因此输出223731。

【数据规模】

一共有50个测试点。

其中第1~15个：1<n<=10^6

其中第16~25个：106<n<=1016

其中第26~50个：1016<n<=101000

【时空限制】

0.2s/64MB

状态机动态规划+10进制矩阵快速幂

方块编号从1到n改成0到n-1。
dp[i]记录位置[0…i]放置了砖块[0…i]的方案数，有如下两种情况：
一，砖块i放在位置i。dp[i]+= dp[i-1]。
二，砖块i不放在i，一定放在i-1。且砖块i-1一定放在i。即dp[i] += dp[i-2]。
时间复杂度：O(n) n = 101000，远远超时。
用矩阵指数幂。
pre = {dp[i-1],dp[i]} 初始值{1,1}cur = {dp[i],dp[i+1]}。
n等于1，返回1。
prematn,答案是ans[0]。
mat = {{0,1},{1,1}}
时间复杂度：O(Mlongm) m是大整数的位数，大约100。logn大约4000。
可以不转高精度大数，直接10进制。
res = pre。从低位到高位处理：
{t = s[i]-‘0’;
res = resmatt
mat = mat10}
时间复杂度：O(100010)
注意：
本题mod超过3e9，故a b+c* d后，无符号long long 会溢出。
无符号的减法不能a-b,如果结果小于0，在加MOD。必须：a+MOD-b

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:
	CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}
	// 矩阵乘法
	vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {
		const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
		assert(iK == b.size());
		vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			for (int j = 0; j < c; j++)
			{
				for (int k = 0; k < iK; k++)
				{
					ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;
				}
			}
		}
		return ret;
	}

	// 矩阵快速幂
	vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {
		vector<vector<T>> res = a;
		for (; n; n /= 2) {
			if (n % 2) {
				res = multiply(res, b);
			}
			b = multiply(b, b);
		}
		return res;
	}
	vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a)
	{
		vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));
		return multiply(a, b);
	}
protected:
	const  T m_llMod;
};

typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;

template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
	{

	}
	C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(T2 n)const
	{
		C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	T1 ToInt()const
	{
		return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
	}
private:
	T1 m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int Ans(string str) {
		vector<vector<long long>> pre = { {1,1} };
		vector<vector<long long>> mat = { {0,1},{1,1} };
		CMatMul<> matMul(100'000'000);
		for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {
			const int t = str[i] - '0';
			pre = matMul.pow(pre, mat, t);
			mat = matMul.pow(mat, mat, 9);
		}
		return pre[0][0];
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0);
	char ch;
	vector<char> v;
	while (cin >> ch) {
		v.emplace_back(ch);
	}
	v.emplace_back(0);	
#ifdef _DEBUG		
	//printf("T=%lld,", T);
	//Out(ks, "ks=");
	//Out(edge, ",edge=");
	/*Out(edge, "edge=");
	Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG	
	auto res = Solution().Ans(v.data());
	cout << res;
	return 0;
}

单元测试

string str;
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			auto res = Solution().Ans("1");
			AssertEx(1, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			auto res = Solution().Ans("2");
			AssertEx(2, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod3)
		{
			auto res = Solution().Ans("0");
			AssertEx(1, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod4)
		{
			auto res = Solution().Ans("3");
			AssertEx(3, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod5)
		{
			auto res = Solution().Ans("987");
			AssertEx(223731, res);
		}

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我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。


http://www.kler.cn/a/612821.html

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