acwing1047. 糖果

/*
输入样例：
5 7
1
2
3
4
5
输出样例：
14
样例解释
Dzx的选择是2+3+4+5=14，这样糖果总数是7的倍数，并且是总数最多的选择。
*/
//我们可以使用一个二维数组 f[i][j] 表示前 i 件物品中选取总重量不超过 j 的物品的最大价值

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int f[N][N];

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;

    memset(f, -INF, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int w,v;
        cin >> w;
        v = w%k;
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            //我们可以使用一个二维数组 f[i][j] 表示前 i 件产品中选取总价值为 j 且是 K 的倍数的物品的最大价值。
            //则有如下的状态转移方程：
            f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][(j -v + k)%k] + w);//j -v + k防止下标越界
            //其中 v 表示第 i 件产品中包含的糖果数量对 K 取模后的值，w 表示第 i 件产品的价值。
        }
    }
    
    最终的答案即为 f[N][0]。
    printf("%d\n",f[n][0]);

    return 0;
}

提问1:为什么最终的答案即为 $f[N][0]$?

简答:

其实就是从$N$件物品中挑了几件,刚好挑的这几件物品总和%$k==0$

详答:

在本题中，我们需要选取若干件物品，使得选取的物品的总价值能够被 $K$ 整除。

因此，我们可以定义一个二维数组 $f[i][j]$，表示前 $i$ 件产品中选取总价值为 $j$ 且是 $K$ 的倍数的物品的最大价值。其中，$i$ 表示前 $i$ 件产品，j 表示选取的物品的总价值。
最终的答案即为 $f[N][0]$，表示前 $N$ 件产品中选取总价值为 0 且是 $K$ 的倍数的物品的最大价值。

这是因为题目要求选取的物品的总价值必须能够被 $K$ 整除，而 0 是 K 的倍数，因此最终的答案必须是 $f[N][0]$。

提问2:$f[i][j]=f[i-1][j]$代表是什么意思

在本题中，状态转移方程 $$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][(j-v+k)\%k]+w)$$ 中，$f[i-1][j]$ 表示前 $i-1$ 件产品中选取总价值为 $j$ 且是 $K$ 的倍数的物品的最大价值。怎么保证是k的倍数,那就要对j取余,对j取余不方便,我们就对w取余;又因为怕出现负下标,还要再加上一个k

因为$v=w\%k$,所以,完整的状态转移方程应该是 $$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][(j-w\%k+k)\%k]+w)$$

具体来说，我们使用二维数组 $f[i][j]$ 来表示前 $i$ 件产品中选取总价值为 $j$且是 $K$ 的倍数的物品的最大价值。因此，当我们要求前 i 件产品中选取总价值为 j 且是 K 的倍数的物品的最大价值时，可以分为两种情况：

1. 不选取第 i 件产品，则前 i 件产品中选取总价值为 j 且是 K 的倍数的物品的最大价值为 $f[i-1][j]$。
2. 选取第 i 件产品，则前 i 件产品中选取总价值为 j 且是 K 的倍数的物品的最大价值为 $f[i-1][(j-v+k)\%k]+w$。

因此，状态转移方程 $$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][(j-v+k)\%k]+w)$$ 就是将这两种情况的最大值作为前 i 件产品中选取总价值为 j 且是 K 的倍数的物品的最大价值。