前言

在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互 “对应”的关系，为名词。映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数，函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。 基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。

映射的定义

两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素a，B中总有唯一的一个元素b与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作$f：A\to B$。其中，b称为元素a在映射$f$下的像 ，记作：$b=f(a)$。a称为b关于映射$f$的原像 。集合A中所有元素的像的集合称为映射$f$的值域，记作$f(A)$。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。一 一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。

注意：
（1）对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的像。可以理解为在集合A中的某些元素可能在集合B中没有出现，也就是说，集合A中有的元素在集合B中可能不存在。
（2）B中每个元素都有原像（即满射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的像（即单射），则称映射$f$建立了集合A和集合B之间的一个一 一对应关系，也称$f$是A到B上的一 一映射。

映射的成立条件简单的表述就是：
1．定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对像
2．对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应

定义域也称为原像集，值域也称为像集。

映射的应用

“映射”或者“投影”，需要预先定义投影法则部分的函数后进行运算。因此“映射”计算可以实现跨维度对应。相应的微积分属于纯数字计算无法实现跨维度对应，运用微分模拟可以实现本维度内的复杂模拟。 映射可以对非相关的多个集合进行对应的近似运算，而微积分只能在一个连续相关的大集合内进行精确运算。

映射（mapping） 在计算机科学中是一种常见的数据结构，通常由键值对（key-value pairs）构成，其中每个键（key）都是唯一的，并且与一个特定的值（value）相关联。

映射可以用于许多不同的应用程序和领域，包括：

1. 数据库管理：数据库中的表通常使用一种映射机制来将每个行（row）映射到一个唯一的主键（primary key）上。

2. 图形和可视化：映射可以用于将数据集中的每个点（point）映射到屏幕上的一个像素（pixel）。

3. 机器学习：许多机器学习算法使用映射来将输入数据映射到一组特征（features）上，以便更好地进行分类或预测。

4. 网络编程：映射可以用于在不同计算机之间传递数据，例如将一个数据包映射到一个特定的网络地址上。

5. 哈希表（hash table）：哈希表是一种常见的数据结构，它使用哈希函数来将键映射到一个唯一的索引上，以便快速查找。