iai 定向 题解

题目

题意

给定一棵树，给 $n-1$ 条边定向，求恰有 $k$ 个点无出边的方案数。

解析

设计 $f(u,i,0/1)$ 表示以 $u$ 为根的子树内，有 $i$ 个无出边，$u$ 是否有出边的方案数。

树背包。

考虑转移。对 $v\in so{n}_u$，枚举 $j$，钦定 $v$ 子树贡献为 $j$，则 $v$ 之前贡献为 $i-j$，讨论边的方向：

$u\to v$，

$$f(u,i,1)=\sum _j(f(u,i-j+1,0)+f(u,i-j,1))\times (f(v,j,0)+f(v,j,1))$$

$v\to u$，

$$\begin{gathered} f(u,i,1)=\sum _{j}f(u,i-j,1)\times (f(v,j+1,0)+f(v,j,1)) \\ f(u,i,0)=\sum _{j}f(u,i-j,0)\times (f(v,j+1,0)+f(v,j,1)) \end{gathered}$$

注意树背包滚动数组的特点，倒序枚举，每轮的 $f$ 值不要继承。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1005;
const int mod = 998244353;

vector <int> G[N];

int n, t, siz[N], f[N][N][2];

void dfs(int u, int fa)
{
	f[u][1][0] = 1, siz[u] = 1;
	for(auto v : G[u])
	{
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, u), siz[u] += siz[v];
		for(int i=min(t, siz[u]); i>=1; i--)
		{
			int cur0 = 0, cur1 = 0;
			for(int j=0; j<=min(i, siz[v]); j++)
			{
				cur1 += (f[u][i-j][1] + f[u][i-j+1][0]) * (f[v][j][0] + f[v][j][1]) % mod, cur1 %= mod;
				cur1 += f[u][i-j][1] * (f[v][j+1][0] + f[v][j][1]) % mod, cur1 %= mod;
				cur0 += f[u][i-j][0] * (f[v][j+1][0] + f[v][j][1]) % mod, cur0 %= mod;
			}
			f[u][i][0] = cur0, f[u][i][1] = cur1;
		}
	}
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
	
	cin >> n;
	
	for(int i=1; i<n; i++)
	{
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
	}
	
	cin >> t;
	
	dfs(1, 0);
	
	cout << (f[1][t][0] + f[1][t][1]) % mod;
}