一个lapack网页 dstedc DSYTRD cusolverDnCheevd

一，NAG Docs

f08jhf (dstedc) : NAG Library, Mark 26

二，intel 的 Lapack 示例

将 mkl_lapacke.h 改成 lapacke.h 即可

LAPACKE_ssyev Example Program in C for Column Major Data Layout (intel.com)

三， DSTEDC的说明

LAPACK中的dstedc是用于求解实对称三对角矩阵特征值和特征向量的例程，它采用的是分治算法（divide-and-conquer algorithm）。

具体来说，dstedc实际上是将一个实对称三对角矩阵分解成两个较小的实对称三对角矩阵，然后递归地处理这两个矩阵，直至得到单一元素的三对角矩阵，即对角矩阵。在整个处理过程中还伴随着特征向量的计算，确保最后得到的特征向量与特征值一一对应。

算法的具体步骤如下：

1. 判断三对角矩阵是否为对称三对角矩阵，如果不是则转化成对称三对角矩阵。

2. 采用分治算法将三对角矩阵分解成两个较小的三对角矩阵。具体来说，将矩阵分成两块，分别为左上角和右下角的两个矩阵，并将左下角和右上角的元素移动到中间线上。这样，原先的三对角矩阵就被分解成了两个规模更小的三对角矩阵。

3. 对于分解出的两个矩阵，分别使用QR分解和反迭代方法求解它们的对应特征值和特征向量。

4. 不断递归地进行上述过程，直到分解出的矩阵为1x1大小的三对角矩阵，并计算对应的特征值和特征向量。

5. 将每次分解出的特征值和特征向量合并到一起。

整个算法的时间复杂度为$O(n^3)$，其中n为矩阵的大小。虽然时间复杂度较高，但该算法在大多数情况下都能够高效地计算出特征值和特征向量。

四，DSYTRD的说明

Lapack DSYTRD（Double precision SYmmetric TRidiagonal Decomposition）算法是用于对实对称矩阵进行三对角分解的例程，其基本原理是通过Householder变换，将一个实对称矩阵A转化为一个实对称三对角矩阵T。

具体来说，DSYTRD算法可以分为以下几个步骤：

1. 初始化：获取输入矩阵A的大小n和存储分解后三对角矩阵T和正交变换矩阵Q的数组长度ldt和ldq。

2. 对于三对角矩阵T的每一列，循环进行以下操作：

    a. 计算一个Householder变换，将矩阵A的对应列转化为一个对角阵及上一个下三角矩阵。

    b. 对矩阵A施加该变换，得到一个新的矩阵A，并更新对应的对角阵及下三角矩阵。

    c. 对矩阵A进行一次相同的变换，得到一个新的矩阵A，并更新对应的下三角矩阵。

3. 将T的对角线上的元素存储在一个数组中，得到矩阵T的三对角形式。

4. 对于每一列的Householder变换，计算变换矩阵Q。

5. 将Q存储在一个数组中。

DSYTRD算法的时间复杂度为$O(n^3)$，其中n为矩阵的大小。算法中最重要的操作是计算Householder变换，其原理是将一个向量表示为一个标量乘上一个单位向量，再施加一个反射变换，从而实现将输入矩阵转换为三对角矩阵的目的。该算法通过Householder变换，将实对称矩阵转化为一个实对称三对角矩阵，从而简化特征值问题的求解。

总之，DSYTRD算法是一种高效的计算实对称矩阵三对角分解的方法，其基本原理是通过Householder变换将输入矩阵转换为三对角矩阵，并得到正交变换矩阵Q，以便后续计算特征值和特征向量。

五，cusolverDnCheevd的说明

cusolverDnCheevd是CUDA系列的线性代数库cuSOLVER中用于求解对称矩阵特征值和特征向量的例程。它分为两个步骤，分别是矩阵对称三对角化（Tridiagonalization）和三对角矩阵特征值求解。以下是具体的算法原理：

1. 矩阵对称三对角化（Tridiagonalization）

cusolverDnCheevd使用的是Householder变换（一种反射变换）的方法进行对称矩阵的三对角化。它的基本思想是通过一系列Householder变换将原始的对称矩阵A转化为三对角矩阵T，即

$$T=Q^TAQ,$$

其中Q是一个正交矩阵，即$Q^TQ=QQ^T=I$，它可以通过对多个Householder变换的乘积进行构造。Householder变换的过程可以通过以下步骤实现：

- 选取一个n维向量x，x[1]≠0，使得 $Hx=\alpha e_1$，其中$\alpha≠0$，$H=I-2vv^T/||v||^2$是对称变换矩阵，$||v||^2=v^Tv$，$e_1=(1,0,0,...,0)^T$；

- 计算矩阵B=H A H，其中A是原始的矩阵；

- 重复上述过程，直到得到一个三对角或者上/下Hessenberg矩阵。

2. 三对角矩阵特征值求解

第二步是通过特征值求解方法（如QR迭代或双步QR算法）来求解三对角矩阵T的特征值和特征向量。由于三对角矩阵具有较为简单的结构，这个过程可以比较高效地完成。

最终，cusolverDnCheevd将矩阵的特征值和特征向量通过回传参数的形式返回给用户，以便用户对其进行后续处理。

总的来说，cusolverDnCheevd算法的基本原理是使用Householder变换将对称矩阵转化为对称三对角矩阵，然后通过特征值求解方法求解特征值和特征向量。算法的复杂度与特征值问题的求解方式有关，但总的来说时间复杂度为$O(n^3)$。由于该算法能够充分利用GPU的并行计算能力，因此能够高效地处理较大规模的对称矩阵特征值和特征向量求解问题。