一道简单的积分题目
题目如下图：
解法1：
解法2：
解法3：
错误做法： 在 x ∈ ( 0 , ∞ ) 上有 ln x < x ，令 f ( x ) = ln x 1 + x 2 ， g ( x ) ＝ x 1 + x 2 ∴ f ( x ) < g ( x ) ，而又 ∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 d x = 1 2 ∫ 0 + ∞ 1 1 + x 2 d ( 1 + x 2 ) = 1 2 ln ( 1 + x 2 ) ∣ 0 + ∞ = + ∞ \color{red} 错误做法：\\ 在x \in (0,\infty)上有 \ln x \lt x ，令f(x)= \frac{\ln x}{1+x^2}，g(x)＝\frac{x}{1+x^2} \\ ∴ f( x)< g( x) ，而又\int _0 ^{+\infty}\frac{x}{1+x^2} dx =\\ \frac{1}{2} \int _0 ^{+\infty}\frac{1}{1+x^2} d(1+x^2) = \\ \frac{1}{2} \ln(1+x^2)|_0^{+\infty} = + \infty 错误做法：在x∈(0,∞)上有lnx<x，令f(x)=1+x2lnx，g(x)＝1+x2x∴f(x)<g(x)，而又∫0+∞1+x2xdx=21∫0+∞1+x21d(1+x2)=21ln(1+x2)∣0+∞=+∞