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为什么高斯核是实现尺度空间变换的唯一变换核，并且是唯一的线性核？再研究

article 2025/3/4 21:34:36

请先看，我们前面一篇，尺度为什么是sigma。

下面要说的是，我们研究的是:g（x,y,sigma）和g（x,y,k*sigma）的关系

而不是：I(x,y)和g（x,y,sigma）之间的关系

也不是研究：g（x,y,sigma）关于sigma的二次偏导数

首先，我们先看导数的定义：这个定义建立在函数是连续和左右极限存在的情形。

设函数y=f(x）在x0的某个邻域内有定义，当自变量在x0处取得的改变量 $\triangle x$ （不等于0）时，函数f（x）取得相应的改变量 $\triangle y$ =f（x0+ $\triangle x$ ）-f（x0）

如果当 $\triangle x$ 趋于0时， $\triangle y$ / $\triangle x$ 的极限存在，则称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数。

假定你已经学习了sift的高斯金字塔，我们来对比一下：有偏导数：

$\frac{\partial g}{\partial sigma }$ =[g(x,y,k*sigma)-g(x,y,sigma)]/(k*sigma-sigma)

此偏导数中， $k^{3}$ =2。

那么(k*sigma-sigma)相当于 $\triangle x$ ，

g(x,y,k*sigma)-g(x,y,sigma)相当于 $\triangle y$ ，

这里要注意的是，不要用高斯函数去展开上面的公式，去求所谓的线性，线性，不就是斜率不变吗？再求[g(x,y, $k^{2}$ *sigma)-g(x,y,k*sigma)]/( $k^{2}$ *sigma-k*sigma)

或者求，[g(x,y, $k^{3}$ *sigma)-g(x,y, $k^{2}$ *sigma)]/( $k^{3}$ *sigma- $k^{2}$ *sigma)

当(k*sigma-sigma)是无穷小量时，( $k^{2}$ *sigma-k*sigma)也是无穷小量，( $k^{3}$ *sigma- $k^{2}$ *sigma)也是。

你要用这样的方法去求，否则你看不出来什么线性不变。我们按拉普拉斯lapulas的方式来求导

即， $\triangledown ^{2}$ = $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}$ + $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ，先求一阶偏导（对sigma就按这个方法），再求二阶偏导，百度一下，多的很，我前面也有证明，结果就是：

$\triangledown ^{2}$ *sigma=sigma*（ $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}$ + $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ）= $\frac{\partial g}{\partial sigma }$ =[g(x,y,k*sigma)-g(x,y,sigma)]/(k*sigma-sigma)

从导数定义出发显然也等于=[g(x,y, $k^{2}$ *sigma)-g(x,y,k*sigma)]/( $k^{2}$ *sigma-k*sigma)

=[g(x,y, $k^{3}$ *sigma)-g(x,y, $k^{2}$ *sigma)]/( $k^{3}$ *sigma- $k^{2}$ *sigma)

$\triangledown ^{2}$ *sigma=sigma*（ $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}$ + $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ）这个是什么意思呢？（ $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}$ + $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ）是一个常量

或者说sigma*（ $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}$ + $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ）= $\frac{\partial g}{\partial sigma }$ 是什么意思？即sigma*常量= $\frac{\partial g}{\partial sigma }$

最简单的微分方程里有一个例子，很容易说明问题：

求过点（1,3）且切线斜率为2x的曲线方程。这句话翻译一下，如下：

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ =2*x