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易错知识点（数学一）

article 2025/2/1 19:41:19

一、反常积分判敛

1、构造 $lim_{x\rightarrow\alpha} (x-\alpha)^pf(x)$ 使其极限等于一个大于0的常数

1）前者通过：化等价无穷小 or 泰勒展开

2）若存在p>1使得等式成立，则收敛

考察形式：1、已知收敛，求f(x)中的幂次取值范围

主要思想：比较判敛法的极限形式

2、若上限为∞，则构造 $\frac{1}{x^{\alpha-\sigma}}\frac{f(x)}{x^{\sigma}},\sigma\rightarrow0$ ，判断 $lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{\sigma}}$ 的极限值，若为0则收敛，此时 $\alpha > 1$

二、欧拉微分方程

y``(t)+(p-1)y`(t)+qy(t) = 0

（1）化特征方程（2）讨论解的个数（3）求C！！

三、曲率and曲率半径

$K = \frac{|y``|}{(1+y`^{2})^{\frac{3}{2}}},R= \frac{1}{K}$

四、场论初步

$grad \textbf{u}= \frac{\partial{u}}{\partial{x}}i+ \frac{\partial{u}}{\partial{y}}j$

$\frac{\partial{l}}{\partial{u}}|_M = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}cos\alpha+ \frac{\partial{u}}{\partial{y}}cos\theta$

注1：角度通过，给定的方向l求，若题目说与梯度方向相同则取1

注2: 可以和多元微分结合，f(x,y)沿任何方向的方向导数都存在，且方向导数大于0，则取极小值

$div \textbf{u} = \frac{\partial{P}}{\partial{x}} + \frac{\partial{Q}}{\partial{y}} + \frac{\partial{R}}{\partial{z}}$

$rot \textbf{u} = \begin{bmatrix} i & j& k\\ \frac{\partial}{\partial{x}} & \frac{\partial}{\partial{y}} & \frac{\partial}{\partial{z}} \\ P&Q &R \end{bmatrix}$

注：若问在某一点的xx，则直接代入数

五、线面积分

1、积分与路径无关的隐含条件

1） $du = Pdx + Qdy$

六、多元微分方程

1、已知 $lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{g(x,y)} =a$ ，讨论（0,0)的极值问题

1）保号性，脱帽**

2）根据a*g(x,y)的正负可以判断，f(x,y)与f(0,0)的大小关系

e.g g(x,y)>0,a<0，则f(x,y)-f(0,0)<0

2、可微、偏导连续、偏导存在、导数存在、函数连续

a.偏导连续➡️可微➡️偏导存在

➡️函数连续

b.偏导都存在不代表极限存在

1）判断偏导存在（可微？极限存在？）

1️⃣让x或y确定为某一个数，再讨论另一个自变量对函数的影响

e.g $lim_{x\rightarrow0}f(x,0)$

2)已知某极限，形如 $lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}{\frac{\delta f-df}{\sqrt{x^2+y^2}}}$ ,若极限等于0，则可微