容斥原理

S表示面积，下面公式可求出不相交的面积

2个圆的公式是这样

4个圆的面积是

总面积-所有俩俩相交的面积+所有三三相交的面积-四四相交的面积，公式里加和减互相出现。

从n个集合里面挑一个一直到从n个集合里面挑n个

1-10中，能被2，3整除的数是下面打勾的

p能整除n的个数，是n/p

p不能整除n的个数是n/p取整

这里共有2的n次方-1项

从n个集合当中选若干个集合，所有的选法都在上述公式中，每种选法的符号跟我们所选取的奇偶数有关，我们用位来表示，如果某位为0，则代表没有选，为1，则代表被选。

其他博主写的比较好的题解

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20;
int n, m;
int p[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) cin >> p[i];//把5个质数读进来
    int res = 0;
    //从1开始枚举到2的m次方，即枚举了2的m次方-1个数
    //这里把2的m次方写成了位运算的格式
    for (int i = 1; i < 1 << m; i++)
    {
        int t = 1, cnt = 0;
        for (int j = 0; j < m; j++)//判断每位是否为1
            if (i >> j & 1)
            {
                cnt++;
                if ((LL)t * p[j] > n)//如果t*p[j]>n就不用算了
                {
                    t = -1;
                    break;
                }
                t *= p[j];
            }
        if (t != -1)//此时说明这几个的乘积小于等于n
        {
            if (cnt % 2) res += n / t;//奇数个集合是加，偶数个集合是减
            else res -= n / t;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

博弈论

先手必败状态：对方必应。

先手必胜状态：自己拿完之后，对手再拿，对手必输。

这里是异或

如果异或值不是0，我们可以从某一堆中拿走一些石子，让剩下的值异或变成0，即先拿的可以决定后拿的结果。

若最开始的异或值是0，则先手的结果一定是0，后手的结果就不是0，即先手拿到的永远是0，后手拿到的永远不是0.

Nim游戏

int main()
{
    int n;
    int res = 0;
    scanf("%d", &n);
    while (n--)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No"); 
    return 0;
}

集合——Nim游戏

集合1，2，3中找出的是0

SG函数

任何非0的状态都能到0，任何0状态到不了0状态，

如果当前所有局面异或起来不是0，我们可以把它变成0，如果是0，我们都可以让他不是0

下面这个例子限定了每次取石子的个数

即有3个堆，分别有2，4，7个石子，每次取得时候只能取2个或5个，如果取 不到就失败

假如只有一堆，而且这一堆有10个，每次只能取2或5，每次取完后得结果可以这样表示

参考题解

【ACWing】893. 集合-Nim游戏_记录算法题解的博客-CSDN博客

(1条消息) [AcWing] 893. 集合-Nim游戏（C++实现）博弈论SG函数模板题_Cloudeeeee的博客-CSDN博客_博弈论c++

#include<cstring>
#include<unordered_set>
const int N = 110, M = 10010;
int n, m;
int s[N], f[M];//  s存能取哪些个数的石子，f表示sg得值。
int sg(int x)
{
    if(f[x]!= -1) return f[x];//记忆化搜索，每个状态只计算一次
    unordered_set<int> S;//用哈希表存储可以到达得局面
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int sum = s[i];
        if (x >= sum)//如果当前数的个数大于等于sum，也就是能取，如要取俩个石子，当前总共有8个，8>=2;
            S.insert(sg(x - sum)); // 将新的状态加进来
    }
    for (int i = 0;; i++)// 找出集合当中不存在的最小值并返回
        if (!S.count(i))//如果当前这个数不存在，直接返回
            return f[x] = i;
}
int main()
{
    cin >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) cin >> s[i];
    cin >> n;
    memset(f, -1, sizeof f);
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}