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LFM信号分析

LFM信号

在时域中,理想线性调频信号持续时间为 T T T 秒,振幅为一常量,中心频率为 f c e n t e r f_{center} fcenter ,相位 θ ( t ) \theta(t) θ(t) 随时间按一定规律变化。当 f c e n t e r f_{center} fcenter 为0时,信号的复数形式为

s ( t ) = r e c t ( t T ) e j π K t 2 s(t)=rect \left( \frac{t}{T} \right) e^{ j \pi K t^2 } s(t)=rect(Tt)eKt2

其中, t t t 是时间变量, K K K 是线性调频率,单位为 H z / s Hz/s Hz/s

瞬时频率:

f = K t f=Kt f=Kt

由于频率的线性调制,相位是时间的二次函数:

ϕ ( t ) = π K t 2 \phi(t) = \pi K t^2 ϕ(t)=πKt2

信号带宽是斜率及其持续时间的乘积:

B W = ∣ K ∣ T BW = \left| K \right| T BW=KT

时间带宽积(TBP)是带宽和持续时间的乘积,该参数是无量纲的:

T B P = ∣ K ∣ T 2 TBP = \left|K\right| T^2 TBP=KT2

线性调频信号的频谱,难以直接推导,可利用驻定相位原理得到简单的近似表达式。

驻定相位原理(POSP)

信号相位包含二次及更高次,在相位驻留点附近是缓变的,而在其他时间点上是捷变的,相位捷变处由于相位周期的正负部分相互抵消,故其对积分的贡献几乎为零,对积分起主要作用的部分集中在相位驻留点附近。

信号带宽为200MHz,脉冲持续时间为 1 μ s 1 \mu s 1μs ,过采样率取 α o s = 1.25 \alpha_{os}=1.25 αos=1.25 时的基带LFM信号的时域波形和频谱图如下图所示。

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下图给出了基带LFM信号的瞬时相位和瞬时频率,其相位是二次的,其频率是时间的线性函数,频率斜率是线性调频率,由于和鸟鸣很相似,故线性调频信号常被称为Chirp信号。

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下图给出了TBP=200时,过采样率 α o s = 1.25 \alpha_{os}=1.25 αos=1.25时通过DFT而不是POSP得到的线性调频脉冲频谱,由于在DFT后进行了 f f t s h i f t fftshift fftshift (左/右半边互换)操作,故零频位于序列中心。可以看出,频谱的实部和虚部具有和LFM相似的线性调频结构,与LFM信号不同的是频谱存在 π / 4 \pi / 4 π/4的相位差,且调频率发生了变化;频谱的幅度可以近似为矩形窗函数;频谱的相位与LFM信号的相位基本一致,可近似为一个关于频率的二次函数。

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探究不同过采样率下的DFT结果

基带复线性调频信号的最高频率为带宽的一半,所以最低复采样率 f s f_s fs 必须大于带宽。检验采样率充分性的另一种方法就是寻找采样信号频谱中的间隙,如果间隙不存在,则采样率过小;如果间隙高于采样率的20%,采样率就大于最优效率值。

为了衡量能量间隙的相对大小,定义过采样因子为 α o s = f s ∣ K ∣ T \alpha_{os} = \frac{f_s}{\left|K\right| T } αos=KTfs

图 \ref{不同过采样率下的信号实部和频谱幅度-在频谱中引起的能量间隙} 给出了不同过采样率下LFM信号补零后的能量间隙。可以看出:随着过采样率以0.2的间隔逐步降低,能量间隙也相应减少,间隙也可以看成是未被利用的频谱空间。 α o s = 1.2 \alpha_{os}=1.2 αos=1.2时,频谱中存在一个很小但很清晰的间隙,说明此时这一过采样值较好地兼顾了效率和精度; α o s = 1 \alpha_{os}=1 αos=1时,间隙消失,虽然严格来说此时不会出现混叠,但由于存在标称带宽范围外的频率泄露,仍会发生少量混叠;当 α o s = 0.8 \alpha_{os}=0.8 αos=0.8时,存在严重的混叠,较低和较高部分的频谱交织在一起,无法区分。因此为了保留连续信号的信息, α o s \alpha_{os} αos必须大于1,通常取在 1.1 ~1.4之间。

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下图给出了不同过采样率下的信号频谱,当 α o s = 0.8 \alpha_{os}=0.8 αos=0.8时,采样率不足以恢复出原信号,其对应的频谱缺失了一部分;当 α o s > 1 \alpha_{os}>1 αos>1 时,能较好地恢复原信号,频谱近似于矩形窗。实际中,为了有效利用数据点数,同时保证能正确恢复信号,通常取 α o s ≈ 1.2 \alpha_{os} \approx 1.2 αos1.2

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下图给出了不同TBP时的LFM信号频谱图,由左边一列可以看出,随着TBP的增大,信号频谱幅度越接近矩形窗,当TBP<100时,近似效果较差;TBP>100时,近似效果较好,且随着TBP的增大,频域上的吉布斯效应不会消失。在SAR信号处理中,通常取较大的TBP。

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统计指标

IRW冲激响应宽度,指冲激响应的3dB宽度,其数值等于脉冲分辨率,时间量纲下的3dB分辨率可以表示为
ρ = 0.886 ∣ K ∣ T ≈ 1 ∣ K ∣ T \rho = \frac{0.886}{| K | T} \approx \frac{1}{| K | T} ρ=KT0.886KT1

PSLR最大旁瓣与主瓣峰值的高度比,称为峰值旁瓣比。
P S L R = 10 l o g 10 ( P s i d e l o b e P m a i n l o b e ) PSLR=10log_{10} \left( \frac{P_{sidelobe}}{P_{mainlobe}} \right) PSLR=10log10(PmainlobePsidelobe)

ISLR积分旁瓣比,旁瓣能量与主瓣能量的比值(计算中主峰和旁瓣以靠近峰值的两个零点为分界线)
I S L R = 10 l o g 10 ( P t o t a l − P m a i n P m a i n ) ISLR=10log_{10} \left( \frac{P_{total}-P_{main}}{P_{main}} \right) ISLR=10log10(PmainPtotalPmain)

基带LFM信号脉冲压缩的实现

下图给出了基带LFM信号的脉冲压缩示意,信号长 10 μ s 10\mu s 10μs,TBP为100。图\ref{基带LFM信号的脉冲压缩abcd}(a)给出了原始信号实部;由图(b)可以看出,压缩脉冲3dB宽约为 0.088 μ s 0.088 \mu s 0.088μs,压缩比和TBP近似相等,约为100;图中©给出了经脉冲压缩后的峰值旁瓣比(PSLR)约为-13dB,积分旁瓣比(ISLR)约为-11.5dB;由于不含噪声,故主瓣及偶数旁瓣中的相位为零。

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探究频域加窗的影响

由于线性调频信号存在一一对应的时频关系,所以可以在时域加窗,还可以在时域设计无窗匹配滤波器,直至在频域处理数据时再加窗。

频谱为矩形窗时,对应的时域脉冲的峰值旁瓣比(PSLR)为-13.2 d B dB dB,一般认为这一PSLR过高,因为在图像中会淹没附近的弱目标。实际SAR处理中,通常要求PSLR在-20 d B dB dB以下,ISLR在-17 d B dB dB以下,降低PSLR的一种方法是在频域引入平滑窗,以减少主瓣到旁瓣的能量泄露,从而避免弱目标主瓣被临近强目标的旁瓣淹没。

典型窗包括Taylor窗、Chebyshev窗、Hanning窗、Hamming窗和Kaiser窗。本节主要仿真分析了Hanning窗、Hamming窗和Kaiser窗对脉冲压缩的影响。

Kaiser窗是一种似长球波函数,其能在一定的ISLR下,近乎最优地使脉冲压缩的主瓣能量达到最大;Kaiser有一个可调节参数 β \beta β ,可以在不同应用中兼顾分辨率和旁瓣。下图给出了在 β = 2.5 \beta = 2.5 β=2.5 时加矩形窗(Kaiser窗的 β = 0 \beta = 0 β=0 时即为矩形窗)和Kaiser窗的对比,与矩形窗相比,Kaiser窗将PSLR降低至-20.67dB(近似为幅度的1/10),ISLR降低至-18.45dB,但分辨率扩展了1.18倍,由于窗的展宽效应可以抵消式\ref{脉冲分辨率}中的0.886,故其可忽略不计。.

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下图给出了矩形窗和加Hanning窗的脉冲压缩结果,与矩形窗相比,Hanning窗将PSLR降低至-31.45dB,有效地抑制了副瓣的幅度,有利于提高信号的动态范围;ISLR降低至-33.66dB,使得能量集中在主瓣当中;分辨率扩展了1.64倍,一定程度上降低了分辨能力。总的来说,使用Hanning窗进行频域加窗处理可以改善脉冲压缩的副瓣抑制效果,但会导致脉冲宽度的增加(即分辨率降低)。

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下图给出了矩形窗和加Hamming窗的脉冲压缩结果,Hamming又称改进版的升余弦窗,与矩形窗相比,Hamming窗将PSLR降低至-40.61dB,有效地抑制了副瓣的幅度,其幅度比加Hanning窗时要更低;ISLR降低至-30.71dB,使得能量集中在主瓣当中;分辨率扩展了1.48倍,一定程度上降低了分辨能力。总的来说,使用Hamming窗进行频域加窗处理可以改善脉冲压缩的副瓣抑制效果,但会导致脉冲宽度的增加(即分辨率降低)。

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小结:窗是一个对信号频谱进行加权的实函数。权值在信号中心频谱处最大,向频谱两边逐渐衰落,窗能够平滑频谱,即弱化频谱边缘处的不连续性,从而降低时域脉冲的主瓣能量泄露,但要以损失分辨率为代价,故须折中考虑。

回波信号的脉冲压缩

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