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代码随想录算法训练营 ---第四十二天

article 2024/9/25 15:29:52

今天开始学习动态规划：背包问题也是比较难的一部分了

动态规划：背包问题理论基础

01背包（二维数组）

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。我认为解决此类问题，重要的是确定dp数组的含义和如何进行初始化，然后如何遍历背包和物品。一下此题为纯01背包问题。

代码实现：

int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {
    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
 
    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }
 
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}
 
int main() {
    while(cin >> n >> bagweight) {
        solve();
    }
    return 0;
}

01背包（一维数组）

代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 读取 M 和 N
    int M, N;
    cin >> M >> N;

    vector<int> costs(M);
    vector<int> values(M);

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        cin >> costs[i];
    }
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        cin >> values[j];
    }

    // 创建一个动态规划数组dp，初始值为0
    vector<int> dp(N + 1, 0);

    // 外层循环遍历每个类型的研究材料
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        // 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间
        for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {
            // 考虑当前研究材料选择和不选择的情况，选择最大值
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);
        }
    }

    // 输出dp[N]，即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值
    cout << dp[N] << endl;

    return 0;
}

注：二维dp数组和一维dp数组最大的区别在于遍历数组时的顺序要注意，二维数组为从小到大进行遍历，一维数组进行遍历是从大到小进行遍历，因为一维数组采用的是滚动数组的形式，如果我们按照从小到大的顺序进行遍历，那么我们会造成重复使用某个物品的问题。

第二题：

简介：

动态规划五部曲：

1.确定dp数组的含义

dp[j] 表示：容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

2.确定递归公式

dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);

3.初始化dp数组

在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0.如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了.本题题目中只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

4.遍历数组

5.打印数组，看是否正确

代码实现：

    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        
          int sum =0;
          int target =0;
          for(int i=0;i<nums.size();i++){
              sum += nums[i];
          }
          if(sum%2 == 1)return false;
          else{
              target = sum/2;
          }
          vector<int> dp(10001,0);
          for(int i=0;i<nums.size();i++){
              for(int j=target;j>=nums[i];j--){
                  dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
              }
          }
          if (dp[target] == target) return true;
          return false;
    }