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数学建模第五天：数学建模算法篇之层次分析法AHP

article 2024/11/19 20:31:15

一、前言

1、例题

2、层次分析法用途

二、层次分析法步骤

1、建立层次结构图

2、构造两两比较矩阵

3、确定相对权重向量

①特征根法

②和法

4、一致性检验

5、计算层次总排序权值和一致性检验

一、前言

1、例题

有大学生刘昊、小王、阿三、蛋仔四人，想要去能力有限责任公司面试程序员的工作。该公司的HR对他们进行面试，问了些许问题，这是四人的相关回答。

A.刘昊：我家财万贯，一表人才，从小被家里人培养出性格随和的性格，业务能力与和人打交道的能力也还不错，不过在大学里面挂过很多次科，请老板信任我！

B.小王：大学里我学了特别多的东西，并且能够熟练运用这些知识到业务中，但是我是一个特别固执的人，我从来不会在意别人跟我说什么，让我去做。如果你也可以像我一样，那我觉得这件事情，太酷啦！

C.阿三：我是一个歪果仁，可能与人交流不大行，但是我写的代码嘎嘎厉害，身体非常强壮，大学里面还拿过奖学金，为人处世很随性。

D.蛋仔：我的身体很结实，在大学期间和其他同学打过架，被记过了一次，从此之后痛改前非，现在与人聊天不会轻易动怒。在学校里我天天锻炼身体，不过绩点有点低，但是这些都是可以后天学习的，希望老板能够选我进单位。

假如你是能力有限责任公司的HR，你会选择优先录取谁？其次呢？

2、层次分析法用途

得咧，尴尬了，压根不知道录取谁。感觉谁都有缺点，谁都有优点，真是让人纠结！

我们注意到，人在这个选择的过程中，并不能给出确切的量对自己的选择进行准确的描述，即人是凭借“感觉”进行选择的。“感觉”是一个模糊量，这种模糊量仅对于单层单一因素比较下的选择具有现实意义，而对于类似此题的情况就显得很难操作了。

所以，我们需要将“感觉”这一模糊量进行量化，从而得出各层因素以及各目标之间的“量化关系”，使得它们的比较具有实际意义并具有可操作性，从而帮助我们选择出最好的结果。

而层次分析法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法，尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。

请各位读者跟随我，我们将一步一步来，把这道题解决出来！

二、层次分析法步骤

1、建立层次结构图

层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。我们分析实际问题中各因素之间的关系，建立实际问题的递阶层次结构．一般分为三层：目标层、准则层、方案层（或对象层）。

在本题中，我们按照此思路构建层次结构图：

目标层：替公司选出最合适的人才。

准则层：影响公司选择人才的因素有：c1:思想道德、c2:沟通能力、c3:身体素质、c4:学习能力、c5:业务能力。

方案层：设三个方案分别为：A1：刘昊、A2：小王、A3：阿三、A4：蛋仔

2、构造两两比较矩阵

在建立递阶层次结构后，上下层元素间的隶属关系就被确定了。假设以上一层次元素G为准则，所支配的下一层次的关系为c1,c2,…,cn，我们的目的是要按它们对于准则G相对重要性赋予c1,c2,…,cn相应的权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学生的考试成绩、某工程的投资额……。但在大多数社会经济活动中,尤其是较复杂的问题中，元素的权重无法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它们的权重。AHP所用导出权重的方法就是两两比较方法。

两两比较法具体方法是：当以上一层次某个因素C作为比较准则时，可用一个比较标度aij来表达下一层次中第i个因素与第j个因素的相对重要性（或偏好优劣）的认识。 $a_{ij}$ 的取值一般取正整数1—9（称为标度）及其倒数。由aij构成的矩阵称为比较判断矩阵A=( $a_{ij}$ )。

元素	标度	规则
$a_{ij}$	1	以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比，具有同样重要。
	3	以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比， i比j稍微重要。
	5	以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比， i比j明显重要。
	7	以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比， i比j强烈重要。
	9	以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素j相比， i比j极端重要。

当然了，也可以用其他数字，不过要保证在1-9之内

比较判断矩阵的特点：① $a_{ij}>0$ ；② $a_{ij}=\frac{1}{a_{ji}}$ ；③ $a_{ii}=1$ 。

引例中, 以为单位选择出更适合单位的人才为准则(G), 它支配着5个因素: 思想道德(c1)、沟通能力(c2)、身体素质(c3)、学习能力(c4)、业务能力(c5)五个因素作出成对比较，得到比较判断矩阵：

G	c1	c2	c3	c4	c5
c1	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{1}{7}$
c2	3	1	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
c3	5	1	1	$\frac{1}{5}$	1
c4	7	3	5	1	$\frac{1}{3}$
c5	7	3	1	3	1

看的出来，我们以 $a_{42}$ 为例，他等于3，代表着c4(学习能力)比c2(沟通能力)稍微重要一点，同理，业务能力要比思想道德极端重要。

同理，我们也可以构建出每一个能力的两两比较矩阵，对于思想道德层面，刘昊肯定要比打架被记过的蛋仔强，所以我们拟定这个矩阵的a14=7，同理，我们可以构造出c1、c2……c5的相关矩阵。

c1	A1	A2	A3	A4
A1	1	5	2	7
A2	$\frac{1}{5}$	1	$\frac{1}{3}$	2
A3	$\frac{1}{2}$	3	1	5
A4	$\frac{1}{7}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{5}$	1

c2	A1	A2	A3	A4
A1	1	5	7	3
A2	$\frac{1}{5}$	1	1	$\frac{1}{3}$
A3	$\frac{1}{7}$	1	1	$\frac{1}{3}$
A4	$\frac{1}{3}$	3	3	1

c3	A1	A2	A3	A4
A1	1	2	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
A2	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{5}$
A3	3	3	1	$\frac{1}{3}$
A4	3	5	3	1

c4	A1	A2	A3	A4
A1	1	5	$\frac{1}{7}$	$\frac{1}{2}$
A2	5	1	$\frac{1}{4}$	3
A3	7	4	1	5
A4	2	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{5}$	1

c5	A1	A2	A3	A4
A1	1	2	$\frac{1}{4}$	2
A2	$\frac{1}{2}$	1	3	3
A3	4	$\frac{1}{3}$	1	4
A4	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	1

大家看一下，小编构造的两两比较矩阵是否合理，如果有异议，请在评论区提出您宝贵的意见哦！

3、确定相对权重向量

确定权重向量有两种方法，不过在此之前，我们要先了解归一化向量的含义。如果一个向量为 $\overrightarrow{a}=(a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot ,a_{n})$ ，令 $b_{i}=\frac{a_{i}}{\sum_{j=1}^{n}a_{j}}$ ，那么 $\overrightarrow{b}=(b_{1},b_{2},\cdot \cdot \cdot ,b_{n})$ 为归一化向量。

①特征根法

设A是因素c1，c2，c3…,cn对目标Ｏ的两两比较矩阵,如果A是一致阵，则A有唯一非零特征根 $\lambda$ ，则用特征根 $\lambda$ 对应的归一化特征向量w作为因素c1，c2，…，cn对目标Ｏ的权重向量，即称为相对权重向量。

如果A不是一致阵，但在不一致的容许范围内，Saaty等人提出用A的最大特征根 $\lambda _{max}$ 对应的归一化特征向量w作为相对权重向量，即满足 $Aw=\lambda _{max}w$ 。

MATLAB里求特征值和特征向量的函数为：[v,d]=eig(A)，小编给大家展示一下求G到c矩阵的特征值与特征向量：

A=[1 1/3 1/5 1/7 1/7;3 1 1 1/3 1/3;5 1 1 1/5 1;7 3 5 1 1/3;7 3 1 3 1];
[v,d]=eig(A)

结果为：

最大特征值为5.6020，所以对应的向量为 $($ 0.0685,0.2044,0.2976,0.6115,0.7007 $)^{T}$ ，归一化得到新的向量为： $($ 0.0365,0.1089,0.15866,0.3258,0.3734 $)^{T}$

②和法

按矩阵的每一列进行归一化后，再按行求和，得到一个新的一维列向量，再对这个新的一维列向量进行归一化即可。

4、一致性检验

在实际中，用1-9比例标度构造构造一致阵是不太容易的，大多数3阶及3阶以上的两两比较矩阵不是一致阵．事实上只要不一致程度在一定的容许范围内，就认为构造的正互反矩阵是合适的。Saaty给出衡量比较矩阵不一致程度的指标：

$CI=\frac{\lambda _{max}-n}{n-1}$ ，

CI=0，有完全的一致性；CI接近于0，有满意的一致性；CI 越大，不一致越严重

参考随机一致性指标RI为：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49

在例题中， $CI=\frac{5.620-5}{5-1}=0.155$ ，它是大于10RI的，所以说明，我们构造的矩阵不好，要重新构建。调整如下：

G	c1	c2	c3	c4	c5
c1	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{1}{7}$
c2	3	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
c3	5	2	1	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{3}$
c4	7	3	5	1	1
c5	7	3	3	1	1

如此算出来的CI值为0.046，符合题目要求！同理，我们也要对关于能力的五个两两比较矩阵进行一致性检验，由于都是小编乱编的数字，肯定有些许的不合理，这五个矩阵很多都不能通过检验，需要我们重新构造，但是小编为了节省篇幅，假装这五个矩阵都通过了一致性检验，并且G对c的矩阵我们也使用最初的那一个（懒得再算了）。

5、计算层次总排序权值和一致性检验

总排序的权值计算方法为：

准则层c对目标层G的权重w（下面计算中用a代替），及方案层A对准则层c的权重B1、B2、B3，由此得到方案层A对目标层G的总层次排序权值。

以B1为例，其对总目标的权值为a1*B11+a2*B12+……a5*B15。

第二层对第一层的权向量w= $($ 0.0365,0.1089,0.15866,0.3258,0.3734 $)^{T}$ ，而方案层对c1的两两比较矩阵为：（特征根5.1825，权值向量： $(0.4681,0.2084,0.2697,0.0538)^{T}$ ）

c1	A1	A2	A3	A4
A1	1	5	2	7
A2	$\frac{1}{5}$	1	$\frac{1}{3}$	2
A3	$\frac{1}{2}$	3	1	5
A4	$\frac{1}{7}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{5}$	1

同理方案层对c1、c2、c3、c4和c5的特征向量即权值如下矩阵B：

	c1	c2	c3	c4	c5
A1	0.4681	0.5687	0.1360	0.1334	0.2215
A2	0.2084	0.1106	0.0829	0.2410	0.4002
A3	0.2697	0.0834	0.2648	0.5262	0.8738
A4	0.0538	0.2374	0.5163	0.0994	0.3276
$\lambda$	5.1825	4.2506	4.1315	5.5503	6.4082

B=[0.4681 0.5687 0.1360  0.1334  0.2215;
    0.2084 0.1106 0.0829 0.2410 0.4002;
    0.2697 0.0834 0.2648 0.5262 0.8738;
    0.0538 0.2374 0.5163 0.0994 0.3276]
w=[0.0365;0.1089;0.15866;0.3258;0.3734]
Choice=B*w

结果为：