【LeetCode: 62. 不同路径 | 暴力递归=＞记忆化搜索=＞动态规划 】

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🚩 题目链接

• 62. 不同路径

⛲ 题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

🌟 求解思路&实现代码&运行结果

⚡ 暴力法-DFS

🥦 求解思路

1. 这道题目的求解思路比较简单，从左上角0,0位置出发，每次只能向右走或者向下走，到右下角m-1,n-1的不同方案数是多少。
2. 那么我们直接通过递归-DFS求解即可。

🥦 实现代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        return process(0,0,m,n);
    }

    public int process(int x,int y,int m,int n){
        if(x==m-1&&y==n-1){
            return 1;
        }
        if(x>=m||y>=n){
            return 0;
        }
        return process(x+1,y,m,n)+process(x,y+1,m,n);
    }
}

🥦 运行结果

时间超限了，不要紧张，我们来继续优化它！

⚡ 记忆化搜索

🥦 求解思路

1. 因为在递归的过程中，会重复的出现一些多次计算的结果，我们通过开辟一个数组，将结果提前缓存下来，算过的直接返回，避免重复计算，通过空间来去换我们的时间。

🥦 实现代码

class Solution {

    private int[][] dp;

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        dp=new int[m][n];
        for(int i=0;i<m;i++) Arrays.fill(dp[i],-1);
        return process(0,0,m,n);
    }

    public int process(int x,int y,int m,int n){
        if(x==m-1&&y==n-1){
            return 1;
        }
        if(x>=m||y>=n){
            return 0;
        }
        if(dp[x][y]!=-1) return dp[x][y];
        return dp[x][y]=process(x+1,y,m,n)+process(x,y+1,m,n);
    }
}

🥦 运行结果

我们发现，通过加一个缓存表，时间复杂度发生了翻天覆地的变化，真是不可思议！

⚡ 动态规划

🥦 求解思路

1. 有了递归，有了记忆化搜索，接下来就是动态规划了，直接上手。

🥦 实现代码

class Solution {

    private int[][] dp;

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        dp=new int[m][n];
        for(int i=0;i<n;++i){
            dp[m-1][i]=1;
        }
        for(int j=0;j<m;++j){
            dp[j][n-1]=1;
        }
        for(int x=m-2;x>=0;x--){
            for(int y=n-2;y>=0;y--){
                dp[x][y]=dp[x+1][y]+dp[x][y+1];
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

🥦 运行结果

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