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做数据分析为何要学统计学（5）——什么问题适合使用t检验？

article 2024/11/13 10:57:28

t检验（Student's t test），主要依靠总体正态分布的小样本（例如n < 30）对总体均值水平进行差异性判断。

t检验要求样本不能超过两组，且每组样本总体服从正态分布（对于三组以上样本的，要用方差分析，其他文章详述）。因此使用t检验前需要对所有样本分别进行正态分布检验。如果有不服从正态分布的情况，可以考虑使用MannWhitney检验和Wilcoxon检验，后面单独文章介绍。

需要说明的是t检验还分为单样本t检验、独立双样本t检验和配对双样本t检验，适用条件也各有不同，以下分别举例介绍。

1.单样本t检验

用于判断总体是否与既定均值无差异，可以通俗理解为总体均值是否与该既定均值相等。如下例

某产品合格率经10轮检测，保持在如下水平，试问可否认为其合格率为96.5%？

合格率（%）：97.6 93.5 98.7 95.4 95.2 97.7 96.1 94.6 96.8 95.7

首先，使用scipy.stats.normaltest对样本进行正态分布检验.

from scipy import stats
import numpy as np
X=np.array([97.6,93.5, 98.7 ,95.4 ,95.2 ,97.7, 96.1 ,94.6 ,96.8 ,95.7])
stats.normaltest(X)

结果：NormaltestResult(statistic=0.07878377023988445, pvalue=0.9613738871946388)。p>0.05，样本通过正态分布检验。

然后，使用sstats.ttest_1samp进行单样本t检验。

stats.ttest_1samp(X,96.5)

结果：Ttest_1sampResult(statistic=-0.7396549082121191, pvalue=0.47835758603283807)。p>0.05，接受总体均值为96.5%的假设。

2.独立双样本t检验

用于判断两组独立样本在总体上是否均值无差异，可以通俗理解为两组独立采样的样本所代表的总体均值是否相等。所谓独立采样指的是：对不同个体或单位的受试对象进行采样，如对男性和女性的身高进行采样。采样方法可以相同，也可以不同。

独立双样本t检验还要求两组样本的总体方差齐性（也就是无差异），如果方差不齐，则可以使用Welch t检验（Welch's t-test）。

首先我们先来看满足独立双样本t检验的例子。

某产品两条生产线的合格率经10轮检测，保持在如下水平，试问可否认为其合格率是相同的？

生产线1合格率（%）：97.6 93.5 98.7 95.4 95.2 97.7 96.1 94.6 96.8 95.7

生产线2合格率（%）：97.2 94.2 97.8 94.9 96.3 98.7 96.5 95.6 97.1 96.2

以下为示例代码

X1=np.array([97.6,93.5, 98.7 ,95.4 ,95.2 ,97.7, 96.1 ,94.6 ,96.8 ,95.7])
X2=np.array([97.2,94.2,97.8,94.9,96.3,98.7,96.5,95.6,97.1,96.2])
#正态分布检验
stats.normaltest(X1),stats.normaltest(X2)
#方差齐性检验
stats.levene(X1,X2)
#独立双样本t检验
stats.ttest_ind(X1,X2)

上述各项检验p值均大于0.05，因此可以接受两条生产线产品质量无差异的假设。

如果X2=[87.2,92.2,97.8,97.9,96.3,98.7,86.5,95.6,97.1,86.2]，则两组样本无法通过方差齐性检验（p=0.03878，小于显著性水平a=0.05）。于是，我们采用Welch t检验。

#独立双样本Welch t检验,equal_var参数值为False时，ttest_ind执行Welch t检验检验
stats.ttest_ind(X1,X2,equal_var=False)

检验结果为：Ttest_indResult(statistic=1.5289576830456144, pvalue=0.15523450660981364)。可以接受两个生产线产品质量相同的假设。

3.配对双样本t检验

用于判断两组配对样本在总体上是否均值无差异。所谓配对采样指的是：对同一个体或单位的受试对象进行采样，如一个人在两个不同时间点的血压值。

配对双样本t检验也要求两组样本的总体方差齐性，同时要求样本容量相同且两个样本各数值的顺序与采样顺序一致。

配对双样本t检验的函数是stats.ttest_rel(X1,X2)，使用方法与独立双样本t检验相同，不再赘述。

以上介绍的是均值无差异推断。这种推断是双侧的（two-sided）,在实际应用中，我们还会遇到单侧检验（one-sided）的情况，即判断不同总体的均值大小。例如判断第一条生产线的产品质量是否优于第二条生产线。

无论是独立双样本t检验还是配对双样本t检验均支持单侧检验，只需要在检验函数中加入alternative参数即可。该参数的取值为“less”或"greater"。如下例

#X1与X2服从正态分布但方差不齐，使用Welch t检验（单侧）
X1=np.array([97.6,93.5, 98.7 ,95.4 ,95.2 ,97.7, 96.1 ,94.6 ,96.8 ,95.7])
X2=np.array([87.2,92.2,97.8,97.9,96.3,98.7,86.5,95.6,93.1,86.2])
stats.ttest_ind(X1,X2,alternative="less",equal_var=False)

结果：Ttest_indResult(statistic=1.81631548017011, pvalue=0.9514575126271494)。

该结果如何解读呢？是 $\bar{X_1}>\bar{X_2}$ ，还是 $\bar{X_1}<\bar{X_2}$ ?这是很多初学者比较困惑的地方。这里作出重要解释：

假设检验的基本思想是“小概率事件”原理，其统计推断方法是带有某种概率性质的反证法。换句话说，我想得到A这个结果，我需要做得事是证明 $\bar{A}$ 不成立。也就是说

零假设（null hypothesis，无效假设） $H_0: \bar{A}$

备择假设（alternative hypothesis，想要的结果） $H_1: A$