武忠祥老师每日一题||定积分基础训练（三）
常用的基本不等式：
sin
x
<
x
<
t
a
n
x
,
x
∈
(
0
,
π
2
)
\sin x<x<\ tan x,x\in(0,\frac{\pi}{2})
sinx<x< tanx,x∈(0,2π)
e
x
≥
1
+
x
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
e^x\ge1+x,x\in(-\infty,+\infty)
ex≥1+x,x∈(−∞,+∞)
x
1
+
x
≤
ln
(
1
+
x
)
≤
x
,
x
∈
(
0
,
+
∞
)
\frac{x}{1+x}\le \ln(1+x)\le x,x\in(0,+\infty)
1+xx≤ln(1+x)≤x,x∈(0,+∞)
本题中的积分区间为
(
0
,
π
4
)
,
有
tan
x
>
x
本题中的积分区间为(0,\frac{\pi}{4}),有\tan x>x
本题中的积分区间为(0,4π),有tanx>x
故
∫
0
π
4
tan
x
x
d
x
>
∫
0
π
4
1
d
x
>
∫
0
π
4
x
tan
x
d
x
故\int _{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}\,{\rm d}x>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}1\,{\rm d}x>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\tan x}\,{\rm d}x
故∫04πxtanxdx>∫04π1dx>∫04πtanxxdx
而
I
2
<
∫
0
π
4
1
d
x
=
π
4
<
1
而I_{2}<\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}1\,{\rm d}x=\frac{\pi}{4}<1
而I2<∫04π1dx=4π<1
此时可以根据排除法选出选项
B
。
此时可以根据排除法选出选项B。
此时可以根据排除法选出选项B。
补充
x
∈
(
0
,
π
2
)
,
sin
x
<
x
<
tan
x
的几何图形
补充x\in(0,\frac{\pi}{2}),\sin x<x<\tan x 的几何图形
补充x∈(0,2π),sinx<x<tanx的几何图形
